Differentialquotient ohne h Methode

Question

Wir sollen für die Funktion s(t)= 20 t - t^2 die momentane Änderungsrate an t=6 mit dem Differenzialquotienten bestimmen und nicht mit der h-Methode sondern mit s(t) - s(t_{0}) / t -t_{0}

lim t → t_{0}

Ich zerbreche mir ganze Zeit den Kopf darüber, weil ich weiß dass die Änderungsrate da 8 ist, aber ich andauernd 0 oder 20 rausbekomme.

Comments

s(t)-s(t0)/t-t0

Das ist der Differenzenquotient:

s(t0) ergibt die 84, weil es jedoch heißt -s(to) die -84. s(t) ist ja gegeben.

Füge das zusammen und du erhältst -t²+20t-84

t-to ist ja nichts anderes als t-6

Also (-t²+20t-84)/(t-6)

Das soweit klar?

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Ja, soweit schon, jetzt wäre meine Frage, wie wir t-6 rauskürzen

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Ich habe es mit Polynomdivision gemacht:

https://www.youtube.com/watch?v=i6Vr_Ppmc2k

Schau dir das Video mal an und du wirst mir sicher folgen können :)

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Gibt es nicht irgendwie eine Möglichkeit, bei der ich t-6 einfach rauskürzen kann

Irgendwie in der Richtung:

20*(t-6)+(6+t)*(6-t)/t-6

?

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Diese Möglichkeit besteht tatsächlich.$$\frac{s(t)-s(6)}{t-6}=\frac{(20t-t^2)-(20\cdot6-6^2)}{t-6}=\frac{(20t-20\cdot6)-(t^2-6^2)}{t-6}\\=\frac{20\cdot(t-6)-(t+6)\cdot(t-6)}{t-6}=\frac{\big(20-(t+6)\big)\cdot(t-6)}{t-6}=14-t.$$

Answer 1

Der Differenzenquotient lautet wie du schon gesagt hast.

(-t²+20t-84)/(t-6)

So sieht er aus, wenn du deinen Wert für t einsetzt.

Diesen Term kannst du mittels Polynomdivision ohne Nenner darstellen, und zwar kommt dann raus:

-t+14

Jetzt musst du den Grenzwert für t gegen 6 berechnen. Dafür setzt du einfach für t=6 ein und dann kommst du auf 8.

Konntest du mir folgen?

LG

Simon