ableitung von |x|^3 mit differentialquotient/h-methode?

Question

Die Aufgabe steht quasi schon oben. Ich habe jetzt schon die ganze Zeit rumgerechnet und komm auf nichts handfestes :/

(f(x+h)-f(x))/h = (|x+h|^3-|x|^3)/h = ((x+h)^2*|x+h| - x^2*|x|)/h = 

((x^2+2hx+h^2)*|x+h| - x^2 *|x|)/h

wenn ich jetzt weiter rechne, verrenne ich mich nur.. Kann mir jemand sagen ob das so richtig ist? oder hab ich schon einen Fehler gemacht?

Vielleicht hat auch jemand einen Tip wann man eher die h-Mathode verwendet und wann den Differentialquotient?

Answer 1

Es ist |x|^3 = x^3 für x>0 und  -x^3 für x<0.

Also kann man für x≠0 unter der Annahme, dass h hinreichend

nahe bei 0 liegt, mit diesen Termen rechnen.

Bei x=0 gilt  Probiere es mit a^3 - b^3 ) = (a-b)*(a^2 + ab +b^2 ) gibt

(|x+h|^3-|x|^3)/h

= |h|^3 / h =  sign(h) * |h|^2 

und das hat für h gegen 0 den Grenzwert 0,

also f ' (0) = 0 .

Comments

Danke, das hatte ich sogar auch schon :) ich wollte nur noch zeigen, dass die Funktion auch noch in allen Punkten außer 0 differenzierbar ist, aber dein Anfang macht es ja klar! Hab total vergessen, dass ich auch damit argumentieren kann, dass x^3 und -x^3 schon differenzierbar sind! 

Danke auf jeden Fall! :)

Answer 2

Hier meine Berechnungen

f ( x ) = x^3
Potenzregel fürs Ableiten
f ´( x ) = 3 * x^2