Stetige Funktion f: R --> R als f = g+h schreiben. g gerade und h ungerade

Question

Zeige, dass man jede stetige Funktion

$$f : \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$$

als

$$f = g + h$$

mit einer stetigen geraden Funktion g und einer stetigen ungeraden Funktion h schreiben kann. Hilfe bitte

Answer 1

Ich definiere

g(x):= 1/2 * (f(x) + f(-x))

h(x):= 1/2 * (f(x) - f(-x))

-------------------------------------------- +

g(x) + h(x) = 1/2 ( 2f(x)) = f(x)   fertig.

Nachtrag:

Summen und Differenzen von stetigen Funktionen sind wieder stetig. Ebenso bleibt eine Funktion stetig, wenn sie mit einer Konstanten multipliziert wird.

g(x):= 1/2 * (f(x) + f(-x))              | ist eine gerade Funktion

g(-x) = 1/2 * (f(-x) + f(x)) = g(x)

h(x):= 1/2 * (f(x) - f(-x))              | eine ungerade Funktion

h(-x) = 1/2 *(f(-x) - f(x)) = -1/2 * (f(x) - f(-x))