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Die Aufgabe lautet ein Halbkreis über einem Rechteck .  Der Umfang ist 20 m  .    Der Flächeninhalt soll so groß wie möglich sein .   Es handelt sich um eine Optimierungsaufgabe . Jemand eine idee .

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Ja, habe eine Idee !

Die Flächen und Umfang allgemein berechnen und die Formeln gegenüberstellen.

Bedingungen erkennen - Gleichungssystem auf eine Gleichung mit einer Variablen reduzieren und Extrempunkt durch Nullstellensuche der Ableitung ermitteln.

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klappts ?

oder noch was unklar ?

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Unbenannt.JPG

Zielfunktion:

A(r,h)=2rh12r2πA(r,h)=2r\cdot h\cdot \frac{1}{2}r^2π   soll maximal werden.

Nebenbedingung:

20=2h+2r+rπ20=2h+2r+rπ Nach hh auflösen:

h=10r0,5rπh=10-r-0,5r π    In die Zielfunktion einsetzen:

A(r)=2r(10r0,5rπ)12r2πA(r)=2r\cdot (10-r-0,5r π)\cdot \frac{1}{2}r^2π

A(r)=(20r2r2r2π)12r2πA(r)=(20r-2r^2-r^2 π)\cdot \frac{1}{2}r^2π

A(r)=(204r2rπ)12r2π+(20r2r2r2π)rπA'(r)=(20-4r-2r π)\cdot \frac{1}{2}r^2π+(20r-2r^2-r^2 π)\cdot r π

A(r)=(102rrπ)r2π+(20r2r2r2π)rπA'(r)=(10-2r-r π)\cdot r^2π+(20r-2r^2-r^2 π)\cdot r π

A(r)=rπ(10r2r2r2π+20r2r2r2πA'(r)=r π (10r-2r^2-r^2 π+20r-2r^2-r^2 π

A(r)=r2π(4r2rπ+30)A'(r)=r^2 π (-4r-2r π+30)

r2π(4r2rπ+30)=0r^2 π (-4r-2r π+30)=0

r2π(4r2rπ+30)=0r^2 π (-4r-2r π+30)=0  Nullprodukt:

r1=0r_1=0

r(2+π)=15r(2+π)=15

r2=152+π2,9r_2=\frac{15}{2+π}≈2,9  in   h=10r0,5rπ2,5h=10-r-0,5r π≈2,5 einsetzen:

h=10152+π7,5π2+π=2,5h=10-\frac{15}{2+π}-\frac{7,5π}{2+π}=2,5

A=22,52,5126,252π=767A=2\cdot 2,5\cdot 2,5\cdot \frac{1}{2} \cdot 6,25^2 π=767

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