Halbkreis über einem Rechteck , Optimierungsaufgaben

Question

Die Aufgabe lautet ein Halbkreis über einem Rechteck .  Der Umfang ist 20 m  .    Der Flächeninhalt soll so groß wie möglich sein .   Es handelt sich um eine Optimierungsaufgabe . Jemand eine idee .

Answer 1

Ja, habe eine Idee !

Die Flächen und Umfang allgemein berechnen und die Formeln gegenüberstellen.

Bedingungen erkennen - Gleichungssystem auf eine Gleichung mit einer Variablen reduzieren und Extrempunkt durch Nullstellensuche der Ableitung ermitteln.

Comments

klappts ?

oder noch was unklar ?

Answer 2

Zielfunktion:

\(A(r,h)=2r\cdot h\cdot \frac{1}{2}r^2π \)  soll maximal werden.

Nebenbedingung:

\(20=2h+2r+rπ\) Nach \(h\) auflösen:

\(h=10-r-0,5r π\)    In die Zielfunktion einsetzen:

\(A(r)=2r\cdot (10-r-0,5r π)\cdot \frac{1}{2}r^2π \)

\(A(r)=(20r-2r^2-r^2 π)\cdot \frac{1}{2}r^2π \)

\(A'(r)=(20-4r-2r π)\cdot \frac{1}{2}r^2π+(20r-2r^2-r^2 π)\cdot r π \)

\(A'(r)=(10-2r-r π)\cdot r^2π+(20r-2r^2-r^2 π)\cdot r π \)

\(A'(r)=r π (10r-2r^2-r^2 π+20r-2r^2-r^2 π \)

\(A'(r)=r^2 π (-4r-2r π+30)\)

\(r^2 π (-4r-2r π+30)=0\)

\(r^2 π (-4r-2r π+30)=0\)  Nullprodukt:

\(r_1=0\)

\(r(2+π)=15\)

\(r_2=\frac{15}{2+π}≈2,9\)  in   \(h=10-r-0,5r π≈2,5\) einsetzen:

\(h=10-\frac{15}{2+π}-\frac{7,5π}{2+π}=2,5 \)

\(A=2\cdot 2,5\cdot 2,5\cdot \frac{1}{2} \cdot 6,25^2 π=767 \)