Linearfaktorzerlegung f(x) = x2 + x - 2. Newton-Verfahren ln x = x-3. Kurvendiskussion Polynom. Ableitungsregeln.

Question

Aufgabe 3:

Gegeben ist die quadratische Funktion
$f(x)=x^{2}+x-2$

1. Zerlegen Sie die Funktion in Linearfaktoren.

2. Bringen Sie die Funktion auf Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt an.

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Năherungslösung der Gleichung
$\ln x=x-3$

Verwenden Sie als Startpunkt $x_{0}=4$. Führen Sie 2 Rechenschritte aus. Runden Sie auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 5:

Gegeben ist die Polynomfunktion
$f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-4 x$

1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von $f(x)$.

2. Bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

3. Berechnen Sie die ersten 3 Ableitungen von $f(x)$.

4. Prüfen Sie, ob $f(x)$ Extrem- und/oder Wendepunkte besitzt. Falls ja, geben Sie sie an.

5. Bestimmen Sie $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$.

6. Skizzieren Sie die berechneten Punkte und den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem.

Aufgabe 6:

Bestimmen Sie die erste Ableitung der gegebenen Funktion.
$\begin{array}{l} \text { a) } f(x)=\ln \left(5 x^{6}+x^{2}+1\right) \\ \text { b) } f(x)=\frac{2 x^{2}}{3 x-2} \\ \text { c) } f(x)=x^{3} \sin (4 x) \\ \text { d) } f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}-2 \sqrt[6]{x}+1 \end{array}$

Answer 1

Aufgabe 3

Linearfaktoren zerlegung, am besten eine polynomdivision durchführen, wenn man es nicht erkennt.

da  c eine gerade Zahl ist (-2) , am besten durch (x+2) dividieren

  (x²+x-2) :(x+2)= x-1

-(x²+2x)

----------

        -x   -2

     -(  -x-2)

---------------

               0

f(x) =(x+2)*(x-1)     

Für die Scheitelpunkt form  die quadratische Ertgänzung anwenden .

f7x)= x²+x-2             p=1      (p/2)² =1/4

      =x²+x+ 1/4 -1/4 -2

      =(x+1/2)² -9/4

  Aufgabe 5

f(x) = 1/2 x³ -4x         punktsymmetrisch in (0|0)

f(x) = x(1/2 x²-4)      erste Nullselle bei   x₁=0       (0|0)

          1/2 x²-4=0   |+4 , *2

                x²=8      ⇒                               x_2,3=±√8

f´(x)=3/2 x²-4

f´´(x)=3x

f´´´(x)=3

 

              

 

 

Answer 2

Aufgabe 4

Umschreiben zu:
f(x) = x - ln(x) -3 = 0

Ableitung:
f'(x) = 1 - 1/x

Newtonsche Näherungsverfahren:
rekursive Formel (d.h. das Ergebnis wird wieder in die Formel eingesetzt)

x^k+1 = x^k - f(x^k) / f'(x^k)        // x^k ist nicht die Potenz, sondern der Iterationsschritt
k = 0; 1; 2; ...

Schritt k=0:
x⁰⁺¹ = x¹ = 4 - (4 - ln(4) -3) / (1 - 1/4) = 4,5151
Shritt k=1:
x¹⁺¹ = x² = 4,5151 - (4,5151 - ln(4,5151) -3) / (1 - 1/4,5151) = 4,5052
...

Answer 3

Aufgabe 6:

a) f(x)=log(5x⁶+x²+1)

Nach Produktregel ist f'(x)=(30x⁵+2x)*1/(5x⁶+x²+1)

b) f(x)=(2x²)/(3x-2)

Nach Quotientenregel ist f'(x)=(4x*(3x-2)-2x²*x)/((3x-2)²)

f'(x)=(12x²-8x-2x³)/(9x²-12x+4)

c) f(x)=x^3sin(4x)

Nach Produktregel und Kettenregel für sin(4x) ist f'(x)=3x^2sin(4x)+x³*4cos(4x)

d) f(x)=e^x2/2-2*x^1/5+1=e^1/2x2-x^1/5+1

f'(x)=xe^x2/2-2/5*x^-4/5