Aufgabe 3:
Gegeben ist die quadratische Funktion
\( f(x)=x^{2}+x-2 \)
1. Zerlegen Sie die Funktion in Linearfaktoren.
2. Bringen Sie die Funktion auf Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt an.
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Năherungslösung der Gleichung
\( \ln x=x-3 \)
Verwenden Sie als Startpunkt \( x_{0}=4 \). Führen Sie 2 Rechenschritte aus. Runden Sie auf 4 Nachkommastellen.
Aufgabe 5:
Gegeben ist die Polynomfunktion
\( f(x)=\frac{1}{2} x^{3}-4 x \)
1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \( f(x) \).
2. Bestimmen Sie die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der \( y \) -Achse.
3. Berechnen Sie die ersten 3 Ableitungen von \( f(x) \).
4. Prüfen Sie, ob \( f(x) \) Extrem- und/oder Wendepunkte besitzt. Falls ja, geben Sie sie an.
5. Bestimmen Sie \( \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x) \).
6. Skizzieren Sie die berechneten Punkte und den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem.
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die erste Ableitung der gegebenen Funktion.
\( \begin{array}{l} \text { a) } f(x)=\ln \left(5 x^{6}+x^{2}+1\right) \\ \text { b) } f(x)=\frac{2 x^{2}}{3 x-2} \\ \text { c) } f(x)=x^{3} \sin (4 x) \\ \text { d) } f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}-2 \sqrt[6]{x}+1 \end{array} \)
