Folgen: Monotonie, Beschränktheit und falls möglich Grenzwert? (i) a_n := √n, (iii) c_n:= (n+1)/n

Question

Aufgabe:

a) Untersuche die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit und falls möglich den Grenzwert.

(i) $a_{n}:=\sqrt{n}$

(ii) $b_{0}:=4, \quad b_{n+1}:=\sqrt{b_{n}}$

(iii) $c_{n}:=\frac{n+1}{n}$

(iv) $d_{n}:=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$

Meine Ansätze sind:

zu (i): Vermutung dass $a_{n}$ streng monoton steigend ist $a_{n}<a_{n+1}$ und zum Schluss bekomm ich dann $0<1$

Ist 1 nun meine obere Schranke? Und ist damit die Folge nach oben beschränkt?

zu (ii): da hab ich gar keinen Plan wie ich vorgehen soll.

zu (iii): da habe ich die selbe Vermutung und dasselbe Ergebnis wie bei (i) rausgefunden.

zu (iv): da sieht man dass die Folge für $n=$ gerade fällt sowie wie für $n=$ ungerade was muss ich da tun?

b) Untersuche die Folgen auf Konvergenz und falls vorhanden die Grenzwerte

(i) $e_{n}:=\frac{n !}{n^{n}}$

(ii) $f_{n}:=\sqrt{n^{2}+5 n+1}-n$

Leider weiß ich hier nicht weiter.

Answer 1

Folgen: Monotonie, Beschränktheit und falls möglich Grenzwert? (i) a_n := √n,

(a_n) ist monoton steigend

a_n+1 - a_n = √(n+1)-√n   | 3. Binom benutzen

= (√(n+1)-√n)(√(n+1) + √n) / (√(n+1) + √n)

= (n+1 - n) /(√(n+1) + √n)

= 1/ (√(n+1) + √n)

> 0, da Zähler und Nenner > 0.

(a_n) ist unbeschränkt. Beweis durch Widerspruch:

Annahme s ist eine obere Schranke von (a_n).

Wähle n0 > (s+1)² , so gilt a_n0 = √( (s+1)²) = s+1 > s . Widerspruch zu oberer Schranke. q.e.d.


(iii) c_n:= (n+1)/n

Grenzwert 1 ist hier richtig.

Berechne noch c_n+1 - c_n um die Monotonie zu beurteilen.

(iv) hast du eigentlich schon. Die Folge ist nicht monoton. Sie steigt und fällt abwechslungsweise, da sie alterniert.

Der Grenzwert existiert und ist 0.

Bei (b) (ii) kannst du wieder den eben vorgerechneten Trick mit dem 3. Binom anwenden.

b) (i) gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+of+%28n%21+%2F+n%5En+%29 kommt für n gegen unendlich 0 raus.