Aufgabe:
a) Untersuche die Folgen auf Monotonie und Beschränktheit und falls möglich den Grenzwert.
(i) \( a_{n}:=\sqrt{n} \)
(ii) \( b_{0}:=4, \quad b_{n+1}:=\sqrt{b_{n}} \)
(iii) \( c_{n}:=\frac{n+1}{n} \)
(iv) \( d_{n}:=\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \)
Meine Ansätze sind:
zu (i): Vermutung dass \( a_{n} \) streng monoton steigend ist \( a_{n}<a_{n+1} \) und zum Schluss bekomm ich dann \( 0<1 \)
Ist 1 nun meine obere Schranke? Und ist damit die Folge nach oben beschränkt?
zu (ii): da hab ich gar keinen Plan wie ich vorgehen soll.
zu (iii): da habe ich die selbe Vermutung und dasselbe Ergebnis wie bei (i) rausgefunden.
zu (iv): da sieht man dass die Folge für \( n= \) gerade fällt sowie wie für \( n= \) ungerade was muss ich da tun?
b) Untersuche die Folgen auf Konvergenz und falls vorhanden die Grenzwerte
(i) \( e_{n}:=\frac{n !}{n^{n}} \)
(ii) \( f_{n}:=\sqrt{n^{2}+5 n+1}-n \)
Leider weiß ich hier nicht weiter.
