Du musst doch zu irgendeinem eps ein delta angeben, dass aus
|z-z0| < δ die Ungleichung |f(z)-f(z0|) < ε folgt. (*)
Nun ist ja zo eine bestimmte Zahl, an deren Stelle du die Stetigkeit beweisen willst.
indem du ein delta angibst so dass (*) gilt.
Dann sagst du mal erst, das delta muss kleiner sein als |z0|/2
[für z0 ungleich 0 gibt es das und der Fall zo=o muss extra untersucht werden,
ist aber einfach : delta = wurzel aus eps ]
dann ist wenn |z-z0| < δ ist, doch für alle z jedenfalls |z0+z| < 3*zo denn die z liegen ja in
mit der 2 war ich gestern etwas knapp besser 3
einem Kreis um zo mit dem Radius delta. maximal ist dann |z0+z|=2,5zo für z=1,5zo
und wenn du nun sagst das delta soll kleiner sein als |z0|/2 und auch kleiner als eps/(3|zo|)
dann gilt wegen deiner Rechnung mit der du angefangen hattest
|(z-z0)|*|(z+z0)| < ε
also aus |z-z0| < δ folgt
|z-z0| < eps/|2zo|
|f(z)-f(z0|) < ε q.e.d.
Diese Methode eine Größe mit der man nicht günstig rechnen kann durch etwas zu
ersetzen, das auf jeden Fall kleiner (bzw. wenn man es anders herum braucht größer)
ist nennt man auch "abschätzen" .