Stetigkeit von f(z) = z² im Komplexen Zahlenraum per Epsilon Delta Definition beweisen

Question

Frage steht im Titel. Mein Ansatz ist folgender:

Sei ε > 0 und z, z₀ ∈ ℂ.

Nun sei

|f(z)-f(z₀|) < ε <=>  |z²-z₀²| < ε <=>  |(z-z₀)*(z+z₀)| < ε <=>  |(z-z₀)|*|(z+z₀)| < ε <=>
Nun sei δ = |z-z₀| Damit folgt  δ*|z+z₀| < ε <=>  δ*|z-z₀+z₀+z₀| < ε Und nun will ich diese Summe auseinander ziehen, dass ich  δ*|z-z₀|+δ*|2z₀| < ε <=>  δ²+|2z₀z₀| < ε
bekomme, aber der Schritt ist meine ich falsch, da |z-z₀+z₀+z₀| < |z-z₀|+|z₀+z₀| nicht gilt. (?) Jedenfalls gilt es nicht für Reelle Zahlen, wenn z₀ > z ist, und dementsprechend kann es auhc nicht für C gelten. Ein anderer Ansatz um die Stetigkeit (nur mit Epsilond Delta!) zu beweisen, fällt mir nicht ein. DIe Stetigkeitsdefinition lautet: Sei D ⊆ C. Eine Funktion f : D → C heißt stetig in z0 ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass fur alle z ∈ D mit |z−z0| < δ gilt |f(z)−f(z0)| < ϵ. Eine Funktion heißt stetig, wenn sie zu jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Jemand eine Idee oder einen anderen Ansatz? :/ Liebe Grüße Kaisky

Answer 1

Sei ε > 0 und z, z₀ ∈ ℂ.

Nun sei

|f(z)-f(z₀|) < ε
 |z²-z₀²| < ε
 |(z-z₀)*(z+z₀)| < ε
 |(z-z₀)|*|(z+z₀)| < ε

Nun sei |z-z₀| <  δ
Dann soll folgen  δ*|z+z₀| < ε

Das |z+z₀| kannst du abschätzen,
für zo = 0 ist eh alles klar und ansonsten wenn z.B.  delta < |zo|/2 gewählt wird ist
in der delta Umgebung von zo jedenfalls |z+z₀| < 2*|z0|.

Comments

Was meinst du mit abschätzen?

Und wieso ist |z+z₀| < 2*|z0|? Das gilt doch nur wenn z < z0 ?

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Du musst doch zu irgendeinem eps ein delta angeben, dass aus

|z-z₀| <  δ die Ungleichung |f(z)-f(z₀|) < ε folgt.   (*)

Nun ist ja zo eine bestimmte Zahl, an deren Stelle du die Stetigkeit beweisen willst.

indem du ein delta angibst  so dass (*) gilt.

Dann sagst du mal erst, das delta muss kleiner sein als |z0|/2

[für z0 ungleich 0 gibt es das und der Fall zo=o muss extra untersucht werden,

ist aber einfach  :    delta = wurzel aus eps ]

dann ist wenn  |z-z₀| <  δ ist, doch für alle z jedenfalls |z0+z| < 3*zo denn die z liegen ja in

mit der 2 war ich gestern etwas knapp besser 3

einem Kreis um zo mit dem Radius delta.  maximal ist dann |z0+z|=2,5zo für z=1,5zo

und wenn du nun sagst das delta soll kleiner sein als |z0|/2  und auch kleiner als eps/(3|zo|)

dann gilt wegen deiner Rechnung mit der du angefangen hattest

 |(z-z₀)|*|(z+z₀)| < ε

also aus |z-z₀| <  δ  folgt  

|z-z₀| <  eps/|2zo|

|f(z)-f(z₀|) < ε           q.e.d.

Diese Methode eine Größe mit der man nicht günstig rechnen kann durch etwas zu

ersetzen, das auf jeden Fall kleiner  (bzw. wenn man es anders herum braucht größer)

ist nennt man auch "abschätzen" .

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dank dir bin ich auf die Lösung gekommen danke.

Ich glaube jedoch, du hast einen kleinen Fehler gemacht, oder ich irre mich, aber

du kannst doch nicht mit |z0+z| < 3*z0 aus |(z-z₀)|*|(z+z₀)| < ε dies |z-z₀| <  eps/|3zo| folgern, dann müsste da doch |z0+z| > 3*z0  stehen, da sonst die ungleichung < ε nicht mehr gilt. (?) (korrigier mich falls ich mich irre)

Ich glaube aber, dank deiner veranschaulichung mit dem kreis um z0, das |z0+z| >= (3/2)*z0 gelten muss.

Damit käme ich auf |z-z₀| <  2eps/|3z0|

Ist das richtig so?

Vielen Dank nochmal! 

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Ah, ich hab meinen fehler entdeckt, nämlich will ich nicht aus

|(z-z₀)|*|(z+z₀)| < ε 

|z-z₀| <  eps/|3zo| folgern, sondern umgekehrt, und dann brauche ich 5/2 z0. :)

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Na dann ist ja alles paletti.