Um die gleichmäßige Stetigkeit zu zeigen, darf das δ nur von ε abhängen und nicht noch von der Stelle, wie bei der punktweisen Stetigkeit.
$$\text{ Zuerst wird die Hilfsaussage: } \sqrt{|x - y|} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y} \text{ gezeigt. Seien x,y > 0:}\\ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 < (x + y)^2 < (x + 2\sqrt{x}\sqrt{y}+ y)^2 \Longrightarrow |x - y| \leq (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \Longrightarrow \\ \sqrt{|x - y|} \leq \sqrt{x}+ \sqrt{y} \\\text{ Sei nun ε > 0 und δ = ε*ε und x,y > 0. Für |x - y| < δ folgt} \\ |f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \frac{|x - y|}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{\sqrt{|x - y|}\sqrt{|x - y|}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} < \sqrt{|x - y|} < ε \\\text{ und damit die Behauptung. }$$
