Gegeben ist die Integralfunktion F_a (x) =a_ ∫^x (2t^2 + 4t) dt. (a untere Grenze)

Question

Wer bitte eilt mir zur Hilfe ?

Gegeben ist die Integralfunktion F_a (x) =_a ∫^x (2t ² + 4t) dt

a) gebe den Term der Funktion F_a (x)  _{explizit ein.}

_b) zeige dass die Ableitung  von F_a (x) gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

c) Nun, sei a= 0                   Für welchen Wert x gilt F₀ (x) = 4/3 ?

d) Für welchen Wert a hat F_a (x) an der Stelle x = 2 eine Nullstelle ?

Gruß Pia

Answer 1

$$\int\,  2t^ 2 + 4t \,dt$$

Stammfunktion einer Polynomfunktion finden ... sollte kein Stress machen, oder?

Comments

doch... ich kann es nicht

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Grundlagen! Dringend nachlernen !!!

Stammfunktion eines Polynoms $$ \int \, a\cdot x^n\, dx \rightarrow \frac a{n+1}\cdot x^{n+1}$$

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Kannst du mir nicht die Formel an meiner Bsp. aufg. erklären

Answer 2

Hier mal die Aufgabe a) 

F_a (x) =_a ∫^x (2t ² + 4t) dt

= 2/3 t^3 + 4/2 t^2 |_a^x 

= 2/3 x^3 + 2x^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) 

Nun zu b)

_b) zeige dass die Ableitung  von F_a (x) gleich dem Term der Integrandenfunktion ist.

Fa(x) = 2/3 x^3 + 2x^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) 

Fa ' (x) = 2/3 * 3 x^2 + 4x - 0 = 2x^2 + 4x   q.e.d.

c) Nun, sei a= 0                   Für welchen Wert x gilt F₀ (x) = 4/3 ?

F0(x) = 2/3 x^3 + 2x^2 - (0) = 4/3   |*3

2x^3 + 6x^2 - 4 = 0      |:2

x^3 + 3x^2 - 2 = 0

x1= -1 durch Raten gefunden.

Polynomdivision ---> weitere Nullstellen? Gemäss Fragestellung, ist nur ein solcher Wert zu erwarten. D.h. die quadratische Gleichung, die du da noch findest, sollte keine reelle Lösung haben.

d) Für welchen Wert a hat F_a (x) an der Stelle x = 2 eine Nullstelle ?

Fa(2) = 2/3 *2^3 + 2*2^2 - (2/3 a^3 + 2a^2) = 0

16/3 + 8 = 2/3 *a^3 + 2a^2  |:2

8/3 + 4 = 1/3*a^3 + a^2    | *3

8 + 12 = a^3 + 3a^2 

0 = a^3 + 3a^2 - 20

a1 = 2 Lösung durch Raten gefunden / abgelesen!

Gemäss Fragestellung die einzige reelle Lösung. Kontrolle wiederum via Polynomdivision möglich.

 
( a^3 + 3a^2 - 20) : (a-2) = a^2 ....

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