Bedingung der Cauchyfolge |an - am| < Epsilon äquivalent zu |an - am| ≤ Epsilon

Question

Begründen Sie, warum man in der Definition einer CAUCHYfolge aus der Vorlesung die Bedingung

\( \left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon \)

zu

\( \left|a_{n}-a_{m}\right| \leq \varepsilon \)

ändern darf, ohne dass sich dadurch die Definition selbst ändert.

Answer 1

Bedingung der Cauchyfolge |an - am| < Epsilon äquivalent zu |an - am| ≤ Epsilon

Beweis "==>"

Wenn  |an - am| < Epsilon für alle m,n ≥ no, so ist automatisch

|an - am| ≤ Epsilon  für alle m,n ≥ no.

Beweis "<=="

Sei Epsilon > 0 gegeben.

So ist Epsilon2 = (1/2) * Epsilon > 0 und Epsilon2 < Epsilon.

Wegen Voraussetzung existiert ein no so dass |an - am| ≤ Epsilon2 für alle n,m ≥ no.

==> |an - am| ≤ Epsilon2 < Epsilon für alle n,m ≥ no. q.e.d. "==> ".

Anmerkung: Blaue Anteile (Ungleichzeichen) der genauen Formulierung im Skript anpassen. Es wird ja in der Fragestellung angedeutet, dass da verschiedene Definitionen verwendet werden.