Konvergiert die Reihe: Summe von k=0 bis unendlich von (-1)^n/wurzel(n)

Question

prüfe auf konvergenz :

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { { (-1) }^{ k } }{ \sqrt { k }  }  } $$

ich habs versucht mit leibnizkriterium zu lösen, habe gezeigt das es alternierend ist, wie kann ich den teil mit der nullfolge zeigen? und mit der monotonie

danke

Answer 1

die Folge die du betrachtest ist ja \( a_k = \frac{1}{\sqrt{k}} \).

Monotonie: Du sollst zeigen, dass für alle \(k \in \mathbb{N}\) gilt:

$$ a_{k+1} \leq a_k $$

Nullfolge:

Es sollte klar sein, dass \( a_k > 0 \quad \forall k\in \mathbb{N} \).

Um zu zeigen, dass \(a_k\) eine Nullfolge ist, musst du mit der Definition arbeiten. Du sollst zeigen, dass \( \forall \varepsilon > 0 \) ein \(k_0\) existiert, so dass ab diesem \( k_0\) für alle \( k \geq k_0 \) gilt:

$$ |a_k| = a_k < \varepsilon $$

Dazu kannst du zum Beispiel die Ungleichung nach k auflösen und mit dem archimedischen Axiom für die Existenz eines solchen \( k_0 \) argumentieren. Mit Hilfe der Monotonie folgt dann die Behauptung.

Gruß

Comments

wieso hast du den bruch auf die positiven zahlen begrenzt und zeigtst es nur für alle k für die gilt das k=eine gerade zahl?

kannst du mir zeigen wie ich das konkret mach mit der rechnung? ich bin noch nicht sehr geübt darin...

vielen dank für deine antwort

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Dir muss klar werden, dass wenn du eine alternierende Reihe der Form
$$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \cdot a_k $$
hast, sich das Leibniz-Kritierum mit der Monotonie und der Nullfolgeneigenschaft der Folge \( a_k \) beschäftigt. Hier werden also nicht gerade oder ungerade Terme betrachtet bzw. positive oder negative Glieder sonder einzig alleine die Folge \(a_k\).
Um zu zeigen, dass
$$ a_{k+1} < a_k $$
musst du also zeigen, dass gilt
$$ \frac{1}{\sqrt{k+1}} < \frac{1}{\sqrt{k}}$$
Dies umfasst ja nur ein paar simple Umformungen der Gleichungen. Versuch dich mal daran.

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okay habs so ist es tatsächlich sehr leicht(einsetzen, wurzel ziehen und dan hoch -1) aber kann ich das auch ohne ungleichung, also das ich zum beispiel mit ak+1-ak=..... anfange und bei <0 rauskomme?

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Wo genau ist für dich der Unterschied zwischen \(a_{k+1} - a_k < 0 \) und \( a_{k+1} < a_k \)?

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das ist an sich das gleiche aber einmal zeige ich den beweis mit quasi vielen äquivalenzpfeilen die meine tutorin nicht sehen will, weil es als lange gleichungskette und dann zum schluss das ungleichheitszeichen schöner aussieht. aber das ist schwieriger für mich da man dann darauf achten muss den wert nicht zu verändern also man kann zeug nur erweitern oder kürzen oder null  ergänzen aber halt nicht einfach "beide seiten verändern" sondern halt nur die eine.

verstehtst du mein Problem?

liebe Grüße und vielen Dank für Deine Hilfe