Nennerpolynom in Gleichung bestimmen und Asymptote im Unendlichen

Question

Bestimmen Sie das Nennerpolynom \( q \) in

\( y=\frac{-4 x^{4}-6 x^{3}+6 x^{2}-x+1}{q} \)

so, dass an der Stelle \( x_{0}=3 \) ein Pol vorliegt und \( f(x)=2 x^{2}-4 x-2 \) die Asymptote im Unendlichen ist.

Answer 1

Da der Grad im Zähler 4 ist und die Asymptote Grad 2 hat, brauchst du auch im Nenner Grad 2.
Ein Linearfaktor des Nenners ist (x-3) wegen des Pols, der andere dann vielleicht (x-c) und weil der
Faktor bei x^4 die -4 ist muss im Nenner bei x^2 eine -2 stehen, damit das mit der Asymptote stimmen kann.

also hast du im Nenner  -2* (x-3) (x-c) =  -2x^2 +(2c+6)x -  6c

Jetzt Polynomdivision Zähler durch Nenner um anhand des Asympt. das c zu bestimmen

gibt   zähler / Nenner =  2x^2 + (2c+9)*x +2c^2+9c+24 +    Rest

Dann müsste der Faktor vor dem x ja -4 sein also  c = -13/2 aber dann stimmt wohl der Rest nicht ???

Vielleicht hab ich mich auch irgendwo verrechnet, aber der Weg scheint mir richtig.

Answer 2

Ich habe noch nicht die endgültige Lösung

Zähler : -4*x^4 - 6*x^3 + 6*x^2 - x + 1
Asymptote : 2*x^2 - 4 *x - 2

Zähler / Asymptote = -2*x^2 - 7*x - 13  = q

Zähler / q = 2*x^2 - 4 *x - 2 = Asymptote + Rest

Jetzt hätten wir schon einmal ein Nennerpolynom q
welches die entsprechende Asymptote ergibt.

Unglücklichsterweise ergibt x = 3 in q eingesetzt nicht 0.
Also auch keine Polstelle.

mfg Georg

Comments

"q=-2*x² - 7*x - 13 "

Kann ich diese Information irgendwie in eine Rechnung miteinbeziehen um ein Polynom zu erhalten welches auch die Polstelle hat ?

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Leider kann ich mich derzeit nur wiederholen.
Ich habe noch nicht die endgültige Lösung

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Wo ist die Aufgabe den zu finden ?

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Auf dem Ilias Server der HS-Karlsruhe (Dort hat man jedoch nur als Student Zugriff)

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Ich komme leider nicht weiter.

Hast du vielleicht die Möglichkeit an die Lösung zu gelangen ?
Ich bin daran interessiert diese zu erfahren.

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Dennoch danke für deine Mühe.

Ich bin optimistisch, das einer der Mitstudierenden die Lösung herausbekommt und dann gebe ich sie hier preis

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Einer hat es geschafft, er sagte:
Man bekommt ja ein Nennerpolynom und dazu muss man eine Zahl einfügen damit die Funktion Null gibt.
Wichtig ist auch den Rest braucht man nicht zu berücksichtigen.
Dazu hat er noch ein Bild seiner Rechnung (andere Zahlen wie ich sie hier habe) angefügt.
Vielleicht können Sie ja was damit anfangen Ich habs noch nicht so ganz verstanden

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So ich hab zwar noch nicht verstanden wie man auf den Lösungsweg kommt, aber ich hab damit die Richtige Lösung errechnet.

q=-2x^2-7x+39

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Vorbemerkung : im Forum wird meist das " du " benutzt.

Kann es sein das in der Aufgabenstellung ein Fehler war ?

Wenn ich den Zähler durch die Lösung q = -2x² - 7x + 39
teile bekomme ich als Asymptote 2x - 4x - 28 heraus.

In der Aufgabe war angegeben 2x - 4x - 2

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Na dann du
Nein die Aufgabenstellung ist korrekt

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kleiner Fehlerhinweis der aber für die Berechnungen keine Rolle spielt
auf dem Arbeitsblatt muß es anstelle
-4x^2
sondern
-4x^4

MIt
q = -2x^2 - 7x + 39  stimme ich als Ergebnis überein

Wenn du den Zähler  -4*x⁴ - 6*x³ + 6*x² - x + 1
durch q = -2x^2 - 7x + 39  teilst
erhältst du
du die Asypmtote + Rest

Was bekommst du heraus ?

ich erhalte
f ( x ) = 2*x² - 4 *x + 50

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Tja da bin ich jetzt auch ratlos, ich erhalte ebenfalls f ( x ) = 2*x² - 4 *x + 50

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Auf dem Ilias Server der HS-Karlsruhe
(Dort hat man jedoch nur als Student Zugriff)

Dann schlage ich vor du fragst dort einmal an.