Basen von Untervektorräumen vom Vektorraum der rationalen Polynome mit Grad <4

Question

Es sei V die Menge der Polynome in ℚ[x] vom Grad ≤3.

Weiterhin sei:

• U₁={f∈V | f(1) = 0}

• U₂={f∈V | f(-1) = 0}

• U3={f∈V | f'(1)=f'(-1) = 0}

Bestimmen sie Basen von U₁, U₂, U₃, U₁+U₂, U₁ ∩ U₂, U₁ + U₃, U₂ ∩ U₃, (U₁ ∩ U₂) + U₃.

Welche der Summen ist direkt?

Nun zu meinen Fragen:
Ist das korrekt, dass mit U₁={f∈V | f(1) = 0} alle Funktionen in V gemeint sind bei denen f(1)=0 ist?

Wäre dann eine mögliche Basis von U₁ (x-1, (x-1)²,(x-1)³)?

Für U₁ ∩ U₂ kommen ja nur Funktionen 2. oder 3. Grades in Frage (und das Nullpolynom). Wäre dann (1, x, x², x³) trotzdem Basis des Schnitts der beiden UVR?

Darauf folgend: Wäre die Einheitsbasis nicht die Basis zu jedem der o.g. UVR der Polynome 3. Grades enthält.

Answer 1

Basis von u1 stimmt , jedoch sollte man die Basis nicht raten sondern einen Grund angeben warum die Menge eine Basis ist

Frage 2 Nein offensichtlich nicht U1 geschnitten ist ein echter Teil Raum

Frage 3 verstehe ich nicht.