Vektorraum von Polynomen vom Grad ≤ n. Matrix und Basen bestimmen. Ableitung

Question

Aufgabe:

Sei \( f(x)=\sum \limits_{\nu=0}^{n} a_{\nu} x^{\nu} \in \mathbb{R}[x] \) ein Polynom mit Koeffizienten in \( \mathbb{R} . \) Der Grad von \( f \) ist definiert als:

$$ \operatorname{grad}(f):=\left\{\begin{array}{l} {-\infty, \text { falls } a_{0}=\ldots=a_{n}=0} \\ {\max \left\{\nu: a_{\nu} \neq 0\right\}, \text { sonst }} \end{array}\right. $$

Für \( n \in \mathbb{N} \) sei \( \mathcal{P}_{n} \) der \( \mathbb{R} \) -Vektorraum aller Polynome \( f(x) \in \mathbb{R}[x] \) vom Grad \( \leq n \)

(a) Bestimmen Sie eine Basis \( \mathcal{B}_{n} \) des \( \mathbb{R} \) -Vektorraums \( \mathcal{P}_{n} \)

(b) Begründen Sie, weshalb durch
$$ D: \mathcal{P}_{n} \rightarrow \mathcal{P}_{n-1}, D\left(x^{k}\right):=\left\{\begin{array}{l} {0, \text { falls } k=0} \\ {k \cdot x^{k-1}, \text { falls } k \in\{1, \ldots, n\}} \end{array}\right. $$
eine \( \mathbb{R} \) -lineare Abbildung definiert wird. Dabei ist \( \mathcal{P}_{0}:=\mathbb{R} \)

(c) Bestimmen Sie die Matrix \( \mathrm{M}_{\mathcal{B}_{n}-1}^{B_{n}}(D) \) von \( D \) bezidglich der Basen \( \mathcal{B}_{n} \) bzw. \( \mathcal{B}_{n-1} \)

Answer 1

Zu b) Du musst zeigen, dass D die Kriterien einer linearen Abbildung erfüllt. Ich habe das mal getan. Datei ist hier zu finden.

Zu zeigen ist also: \( \mathrm{D}(\mathrm{a})+\mathrm{D}(\mathrm{b})=\mathrm{D}(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \) und \( \lambda \mathrm{D}(\mathrm{a})=\mathrm{D}(\lambda \mathrm{a}) \)

Es seien a und b zwei Polynome in \( P_{n} \). Somit lassen sie sich wie folgt schreiben.
\( a=\sum \limits_{i=1}^{k} a_{i} \cdot x^{i} \) und \( b=\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i} \cdot x^{i} \) mit \( k m \leq n \)

Die Abbildung D auf beide angewandt ergibt:

\( D(a)=\sum \limits_{i=1}^{n} i \cdot a_{i} \cdot x^{n-1} \) und \( D(b)=\sum \limits_{i=1}^{n} i \cdot b_{i} \cdot x^{i-1} \)

Die Summe dieser beiden ist:
\( D(a+b)=\sum \limits_{i=1}^{max(k,m)} i \cdot\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i-1} \)

Die Summe von a und b ist:
\( a+b=\sum \limits_{i=0}^{max(k,m)}\left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i} \)

Darauf D angewandt:
\( D(a+b)=\sum \limits_{i=1}^{max(k,m)} i · \left(a_{i}+b_{i}\right) \cdot x^{i-1} \)

Erster Teil geschafft, nun der zweite. Das Polynom a mit einem Skalar \( \lambda \) multipliziert ergibt:
\( \lambda a=\lambda \cdot \sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot x^{\prime}=\sum \limits_{i=0}^{k} \lambda \cdot a_{i} \cdot x^{i} \)

Darauf D angewandt:
\( D(\lambda a)=\sum \limits_{i=1}^{k} \lambda \cdot i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1} \)

Die Abbildung D(a) mit einem Skalar \( \lambda \) multipliziert ergibt:
\( \lambda \cdot D(a)=\lambda \cdot \sum \limits_{i=1}^{k} i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1}=\sum \limits_{i=1}^{k} \lambda \cdot i \cdot a_{i} \cdot x^{i-1} \)

Damit sind beide Bedingungen erfüllt. Die Abbildung D ist somit eine lineare Abbildung.

Answer 2

(a) Bn = { 1, x, x^2, x^3, .... x^n}

(c) Es entsteht eine Abbildungsmatrix, die auf den ersten Blick schon Rang 5 hat bei n=6. Bilder mit x^6 kommen nicht vor.

Allgemein ist der Rang die Abbildungsmatrix von D : Rang(D) = n-1.

Matrix  für n=6 wäre:

$$\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 4 & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 5 \\ 0 & 0 \end{matrix} \end{matrix} \right)$$