Ist die Matrix B(x):=((1 1 0 0)(0 1 x x^2)(0 x x^2 1)(1 x^2 1 x)) invertierbar?

Question

Stellen Sie fest, welche der folgenden Matrizen invertierbar sind und bestimmen Sie im Fall der Invertierbarkeit die entsprechende inverse Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 2 & -\frac{3}{2} & 10 \\ 2 & 5 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 & 4 \\ -1 & 6 & -6 & 38 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(4 \times 4, \mathbb{R}), \quad B(x)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & x^{2} \\ 0 & x & x^{2} & 1 \\ 1 & x^{2} & 1 & x \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(4 \times 4, \mathbb{R}[x]) \)

Hinweise: Für eine Matrix \( C(x) \in \operatorname{Mat}(4 \times 4, \mathbb{R}[x]) \) und \( \alpha \in \mathbb{C} \) bezeichne \( C(\alpha) \in \operatorname{Mat}(4 \times 4, \mathbb{C}) \) die Matrix, die aus \( C(x) \) durch Ersetzen von \( x \) durch \( \alpha \) entsteht. Ist \( C(x) \) invertierbar, dann ist \( C(\alpha) \) für jedes \( \alpha \in \mathbb{C} \) invertierbar. Für \( \alpha=\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \) gilt \( \alpha^{n-1}+\ldots+\alpha+1=0 \).

Answer 1

[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, x, x^2, 0, 1, 0, 0]
[0, x, x^2, 1, 0, 0, 1, 0]
[1, x^2, 1, x, 0, 0, 0, 1]

IV - I

[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, x, x^2, 0, 1, 0, 0]
[0, x, x^2, 1, 0, 0, 1, 0]
[0, x^2 - 1, 1, x, -1, 0, 0, 1]

III - x*II, IV - (x^2 - 1)*II

[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, x, x^2, 0, 1, 0, 0]
[0, 0, - x^3 + x + 1, - x·(x^3 - x - 1), -1, 1 - x^2, 0, 1]
[0, 0, 0, 1 - x^3, 0, -x, 1, 0]

(1-x^3)*II - x^2*IV, (1-x^3)*III + x·(x^3 - x - 1)*IV

[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1 - x^3, x·(1 - x^3), 0, 0, 1, - x^2, 0]
[0, 0, (x^3 - 1)·(x^3 - x - 1), 0, x^3 - 1, 1, x·(x^3 - x - 1), 1 - x^3]
[0, 0, 0, 1 - x^3, 0, -x, 1, 0]

(x^3 - x - 1)*II + x*III

[1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0]
[0, (1 - x^3)·(x^3 - x - 1), 0, 0, x·(x^3 - 1), x^3 - 1, 0, x·(1 - x^3)]
[0, 0, (x^3 - 1)·(x^3 - x - 1), 0, x^3 - 1, 1, x·(x^3 - x - 1), 1 - x^3]
[0, 0, 0, 1 - x^3, 0, -x, 1, 0]

(1 - x^3)·(x^3 - x - 1)*I - II

[(1 - x^3)·(x^3 - x - 1), 0, 0, 0, - (x^3 - 1)^2, 1 - x^3, 0, x·(x^3 - 1)]
[0, (1 - x^3)·(x^3 - x - 1), 0, 0, x·(x^3 - 1), x^3 - 1, 0, x·(1 - x^3)]
[0, 0, (x^3 - 1)·(x^3 - x - 1), 0, x^3 - 1, 1, x·(x^3 - x - 1), 1 - x^3]
[0, 0, 0, 1 - x^3, 0, -x, 1, 0]

Nun noch normieren

[1, 0, 0, 0, (x^3 - 1)/(x^3 - x - 1), 1/(x^3 - x - 1), 0, - x/(x^3 - x - 1)]
[0, 1, 0, 0, - x/(x^3 - x - 1), - 1/(x^3 - x - 1), 0, x/(x^3 - x - 1)]
[0, 0, 1, 0, 1/(x^3 - x - 1), 1/((x^3 - 1)·(x^3 - x - 1)), x/(x^3 - 1), - 1/(x^3 - x - 1)]
[0, 0, 0, 1, 0, x/(x^3 - 1), 1/(1 - x^3), 0]

Damit haben wir jetzt auf der rechten Seite die Inverse.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C1%2C0%2C0%7D%2C%7B0%2C1%2Cx%2Cx%5E2%7D%2C%7B0%2Cx%2Cx%5E2%2C1%7D%2C%7B1%2Cx%5E2%2C1%2Cx%7D%7D%5E-1

Comments

Ist die jetzt nur invertierbar, wenn im Nenner nicht 0 steht? Also bei x≠1 und x≠ 1.3247.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1-x%2B2+x%5E3%2Bx%5E4-x%5E6%29+%3D+0