Zwei Matrizen A und B sind Invertierbar, folgt daraus schon, dass die Matrix A*B invertierbar ist?

Question

Aufgabe: Invertierbarkeit von Matrizen die auf einem Ring definiert sind.

Problem/Ansatz:

Zwei Matrizen A und B sind Invertierbar, folgt daraus schon, dass die Matrix A*B invertierbar ist?

Weil wenn man zB die Matrizen im Restklassenring Mod 2 betrachtet und zB A=I₂  = B wählt, ist A*B ja die 0 Matrix.

.

Comments

Hallo

im Restklassenring mod 2 ist doch \(1 \cdot 1=1\), wieso liefert das Produkt die Null-Matrix?

Gruß

---

Ah sorry, da war ich gerade ein bisschen Brain afk. Aber wie schauts aus mit 2*I₂ = A=B im Mod 4?

---

Und was wäre da die Inverse von A?

Versuchs doch mal mit einem Beweis. Lass Dich elementar inspirieren: Wenn x,y zwei reelle Zahlen sind, die beide ungleich 0 sind, dann hat doch \(x \cdot y\) ein Inverses \(\frac{1}{xy}\)  -wie hängt das mit den Inversen \(\frac{1}{x}\) und \(\frac{1}{y}\) zusammen?

Kleines Problem bei Matrizen: Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Man muss aus auf die Reihenfolge achten.

Gruß

Answer 1

Es gilt

Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante invertierbar ist.

Inverse = Adjunkte / Determinante

Falsch ist: Eine Matrix ist invertierbar, wenn die Determinante 0 ist (auch wenn dir das seit Jahren eingeprügelt worden ist.)

Falsch ist auch: Die Inverse rechnet man (hier) nicht mit dem Gauss-Algorithmus, der verwendet nämlich Divisionen, die in Ringen oft genug verboten sind.

Dein Beispiel A = B = 2*I2 hinkt. Berechne doch mal die Determinante und das Inverse von 2*I2 in Z/4Z.

Und als Begründung für Deine Frage reicht der Determinantenmultiplikationssatz.