Zeigen Sie, dass A invertierbar ist

Question

Hi, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien A₁ ... A_l ∈ M_n (Κ) und A=A₁A₂...A_l. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist, genau dann wenn Ai, für jedes 1≤ i ≤ l invertierbar ist.

Bin über jede Hilfe/ jeden Hinweis dankbar.

Comments

Tipp: \(\det(A_i\cdot A_j)=\det A_i\cdot\det A_j.\)

Answer 1

A ist invertierbar genau dann, wenn det(A) ≠ 0. 

Wir haben folgendes: $$\det (A)=\det (A_1\cdot A_2\cdot \ldots \cdot A_{\ell})=\det (A_1)\cdot \det(A_2)\cdot \ldots \cdot \det(A_{\ell})$$ 

Es gilt dass $$\det (A)\neq 0 \Leftrightarrow \det (A_i)\neq 0, \ \forall 1\leq i \leq \ell$$ 

Also gilt dass A invertierbar ist genau dann, wenn A_i für jedes i invertierbar ist .