Minimalpolynom AB= Minimalpolynom BA wenn die Matrix B invertierbar ist

Question

Ich bräuchte Hilfe zu der folgenden Aufgabe:

Wenn A ∈ K^nxn und B ∈ GL (n,K), dann ist das Minimalpolynom von AB gleich dem Minimalpolynom von BA.

Es gilt laut meiner Lösung m_AB=m_B(AB)B^-1 =m_BA  . Doch kann mir jemand erklären wieso?

Für das charakteristische Polynom gilt:

x_AB=det(AB-xE)=det(B(AB-xE)B^-1)

Doch wie mache ich weiter und wie erklärt sich m_AB=m_B(AB)B^-1 =m_BA

Comments

Ich will mal meine Frage konkretisieren ´, wie wende ich ß gegeben durch 2x1y1 - 3x1y2 + x2y2 auf die beiden Basisvektoren an, also aij := ß(ei, ej)

Answer 1

Minimalpolynome ähnlicher Matrizen sind gleich. Bzw.: Das Minimalpolynom ist invariant unter Konjugation.

Das heißt: Wenn man zwei Matrizen \(M_1, M_2\in K^{n\times n}\) hat, so dass eine Matrix \(S\in\text{GL}(n, K)\) mit \(M_2 = S M_1 S^{-1}\) existiert. So haben \(M_1\) und \(M_2\) das gleiche Minimalpolynom.

Beweis:

[spoiler]

Das Minimalpolynom \(m_{M_1}(X)\in K[X]\) der Matrix \(M_1\in K^{n \times n}\) ist durch folgende Bedingungen eindeutig charakterisiert:

1-1. \(m_{M_1}(M_1)\) ist die Nullmatrix, also \(m_{M_1}(M_1) = 0\).

1-2. \(m_{M_1}\) ist normiert.

1-3. \(m_{M_1}\) ist das Polynom kleinsten Grades mit den Eigenschaften 1-1. und 1-2.

Genauso ist das Minimalpolynom \(m_{M_2}(X)\in K[X]\) der Matrix \(M_2\in K^{n \times n}\) durch folgende Bedingungen eindeutig charakterisiert:

2-1. \(m_{M_2}(M_2)\) ist die Nullmatrix, also \(m_{M_2}(M_2) = 0\).

2-2. \(m_{M_2}\) ist normiert.

2-3. \(m_{M_2}\) ist das Polynom kleinsten Grades mit den Eigenschaften 2-1. und 2-2.

Für jedes Polynom \(P(X) = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k X^k\in K[X]\) ist \[P(S M_1 S^{-1}) = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k (S M_1 S^{-1})^k = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k S M_1^k S^{-1}=S\sum_{k=0}^{d}\lambda_k M_1^k S^{-1} = S P(M_1) S^{-1}\text{.}\]

Insbesondere ist also \[m_{M_1}(M_2) = m_{M_1}(S M_1 S^{-1}) = S m_{M_1}(M_1) S^{-1} \stackrel{1-1}{=} S 0 S^{-1} = 0\text{.}\]

Damit erfüllt \(m_{M_1}\) die Eigenschaft 2-1. Außerdem ist \(m_{M_1}\) wegen 1-2 normiert, erfüllt also auch 2-2. Angenommen es gäbe ein Polynom \(\mu(X)\in K[X]\) kleineren Grades als \(m_{M_1}\), welches die Bedingungen 2-1 und 2-2 erfüllt. Dann wäre \[\mu(M_1) = \mu(S^{-1} M_2 S) = S^{-1} \mu( M_2) S \stackrel{2-1}{=} S^{-1} 0 S = 0,\] weshalb die Bedingung 1-1 erfüllt. Außerdem wäre \(\mu\) wegen 2-2 normiert, würde also auch 1-2 erfüllen. Damit hätte man ein Polynom kleineren Grades als \(m_{M_1}\) gefunden, welches die Bedingungen 1-1 und 1-2 erfüllt. Das wäre im Widerspruch dazu, dass \(m_{M_1}\) das Minimalpolynom von \(M_1\) wäre, da 1-3 verletzt wäre.

Damit ist \(m_{M_1}\) das Polynom kleinsten Grades, welches 2-1 und 2-2 erfüllt. Demnach ist bei \(m_{M_1}\) auch 2-3 erfüllt, so dass \(m_{M_1}\) das Minimalpolynom von \(M_2\) ist. Damit ist also \(m_{M_1} = m_{M_2}\).

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Für \(M_1 = A B\) und \(M_2 = B A\) und \(S = B\) erhält man daraus nun \(m_{A B} = m_{B A}\).

Answer 2

Schreib hin: ein Polynom \(p\) in allgemeinen Koeffizienten. Schreib hin: \(p(AB)\) und \(p(BA)\). Finde: einen formelmaessigen Zusammenhang zw. \(p(AB)\) und \(p(BA)\).

Comments

Also p(AB)A=Ap(BA).

Dann ist p(AB)=0 ⇔p(BA)=0 .

Damit habe ich es dann schon gezeigt oder?

Dann brauche ich das mit dem charakteristischen Polynom auch nicht oder???

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Die Idee ist richtig, aber Du musst das schon mit B statt A machen, B war ja als regulaer vorausgesetzt, nicht A.

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Oh ja stimmt weil B nach Voraussetzung invertierbar ist

Answer 3

  Man  muss auch mal ehrlich sein .

   "  Selbst eine alte Kuh /  Lernt doch immer noch dazu . "

   Nehmen wir z.B. ewine Gruppe, die i.A. nicht kommutativ ist. Es gibt ja diese Gleichheitsbeziehung

 (E)  a  |     y  =  a  x  a  ^ -  1       (  1  )

     Zwei Elemente  x  und y  , die durch  Beziehung ( 1 ) verknüpft sind, heißen komjugiert.

   Nie hätte ich für  Möglich gehalten,  dass  u  =  a  b  und u ' =  b  a   grundsätzlich immer konjugiert sind; immer der selben  Klasse  angehören.

    Ich habe mal gelesen, die vornehmste Aufgabe der Gruppenteorie sei es,  Gruppen  "  so kommutativ wie möglich  "  zu machen .   Damit  ist die Konjugation eines dieser Instrumente .

Comments

  Ach seh ich grad;  es fehlt noch das Schlagwort   ===>  innerer Automorphismus  .  Zwei Elemente sind konjugiert, wenn sie durch einen inneren Automorphismus auseinander hervor gehen .