Minimalpolynom, Teilbarkeit und Invertierbarkeit (Zusammenhänge)

Question

Sei K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f ∈ End(V ) und ψf das Minimalpolynom von f. 

1. (a)  Ist ψf durch X teilbar, so ist f nicht invertierbar.
   Hinweis: Wenn ψf = X · p ist, was lässt sich dann über p(f ) sagen, und was bedeutet das für ψf (f )?

2. (b)  Ist ψf nicht durch X teilbar, so ist f invertierbar.
   Hinweis: Zeigen Sie, dass es ein Polynom der Form 1+Xq gibt (mit q ∈ K[X]), das f annulliert. Können Sie mit Hilfe dieses Polynoms das Inverse von f angeben?

3. (c)  Ist f invertierbar, so gibt es ein Polynom p ∈ K[X] so dass f−1 = p(f) gilt. Hinweis: Verwenden Sie die vorigen Teilaufgaben. 

   
   

   Wie kann ich die drei Aussagen zeigen? Da stehen zwar Hinweise, aber leider helfen sie mir nicht wirklich weiter

Answer 1

Schreibe halt $$\psi_f(X)=X^m+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots+a_1X+a_0$$ in Langform hin. Es gilt dann \(\psi_f(f)=0\) und es gibt kein Polynom kleineren Grades, das von \(f\) ebenfalls annulliert wird. Bei (a) ist der Fall \(a_0=0\) zu diskutieren und bei (b) der Fall \(a_0\ne0\). Dazu eben \(f\) einsetzen und gucken, was sich ergibt. Bei (a) ein Widerspruch, wenn \(f\) invertierbar ist, bei (b) und (c) eine explizite Formel für \(f^{-1}\).

Comments

wie setze ich denn f ein ? Bin echt überfordert mit den Aufgaben

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Ist das so richtig ?

Es gilt ψ_f(X)=X^m+a_m-1X^m-1+...+a₁X+a₀=X*p+a₀

mit p=X^r-1+a_r-1X^r-2+...+a_1.

Dann wird fp(f)=-a₀E_n

Da der Grad von p kleiner als der des Minimalpolynomas von f ist, ist p(f)≠0. Wenn nun a₀=0, kann f nicht invertierbar sein.

Stimmt das so ?