Aufgabe:
Gegeben seien die folgenden Matrizen in \( \mathbb{R}^{4 \times 4} \) :
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 4 & 0 & 0 \\ -6 & 4 & 0 & 1 \\ -8 & 6 & -4 & 4 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ -9 & 5 & 0 & 0 \\ -6 & 2 & 2 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 2 \end{array}\right) \)
Zeige, dass die beiden Matrizen dasselbe charakteristische Polynom und dasselbe Minimalpolynom besitzen, dass ihre Situation in Bezug auf 2.3.7 aber trotzdem verschieden ist.
Problem/Ansatz:
Situation 2.3.7 ist wie folgt gegeben:
Seien \( k \) verschiedene Hauptvektoren \( w_{1}, \ldots, w_{k} \) von \( \varphi \) zum Eigenwert \( \lambda \) mit Stufen \( m_{1} \geq m_{2} \geq \ldots \geq m_{k} \geq 1 \) derart gegeben, dass die Vektoren \( (\varphi-\lambda \text { id })^{m_{j}-1}\left(w_{j}\right), j \in\{1, \ldots, k\} \) genau \( k \) linear unabhängige Vektoren sind. Dann sind die Vektoren
\( v_{j i}:=(\varphi-\lambda \mathrm{id})^{m_{j}-i}\left(w_{j}\right) \text { mit } j \in\{1, \ldots, k\}, i \in\left\{1, \ldots, m_{j}\right\} \)
verschieden und linear unabhängig.
Das Minimalpolynom für A und B lautet also \( (λ-2)^{2} \)
Jetzt sehe ich aber noch nicht, dass die Situation der beiden Matrizen im Bezug auf 2.3.7 verschieden ist - kann mir jemand erklären, wie ich drauf komme, dass die Situation wirklich verschieden ist?
LG Euler
