Wie begründet man, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom in diesem Fall gleich sind?

Question

Aufgabe:

Sei f ∈ End_K(V) ein diagonalisierbarer Endomomorphismus mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_1,...,λ_k. Zeigen Sie, dass dann p_f  = (t - λ₁)···(t - λ_k).

Problem/Ansatz:

Def. 1:

Für jedes f ∈ End_k(V) sind äquivalent:

i)   f ist diagonalisierbar

ii)  χ_f = π^k_i=1 ( t - λ_i )ⁿⁱ   , n_i ∈ |N und λ_i ∈ K  (i = 1,...,k), zerfällt also in Linearfaktoren und es gilt dim(V_λi ) = n_i

Def. 2:

Das Minimalpolynom p einer quadratischen n x n Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A) = 0 (die Nullmatrix) ist.

Lösungsansatz:

f diagonalisierbar ⇔  χ_f = π^k_i=1 ( t - λi )ⁿⁱ  

EW paarweise verschieden

⇒ algebraische Vielfachheit der EW: n₁ = n₂ = ....= n_k = 1

⇒  χ_f  = π^k_i=1 ( t - λi ) = (t - λ₁) · (t -  λ₂) ··· (t -  λ_k)

Problem:

Nun weiß ich jetzt nicht wie ich begründen soll, dass in diesem Fall  χ_{f =} p_f  gilt.

Comments

Das war leider auf eine falsche

Interpretation der Aufgabe bezogen.

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"EW paarweise verschieden  ???  Das ist nicht vorausgesetzt !"

Aber es steht doch in der Aufgabenstellung, das die EW paarweise verschieden sein sollen. Dh. das die algebraische Vielfachheit jedes Eigenwertes n_i = 1 ist. Oder verstehe ich es falsch?

Ich sehe nicht an welcher Stelle sich dein  Beweis auf das Minimalpolynom bezieht. In der Aufgabenstellung ist ja das Minimalpolynom und nicht das charakteristische Polynom gefragt. Der Zusammenhang der beiden Polynome wird durch Caylay Hamilton beschrieben. Den Satz kenne ich und dachte ich hätte ihn verstanden. Kann ihn aber irgendwie nicht auf die Aufgabe übertragen.

Vielen Dank für deine Antwort übrigens :)

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Tut mir Leid. Ich habe deinen Ansatz sozusagen als die Aufgabe interpretiert.

Meine Ausführungen sind also eher Unsinn .

Ich lösche das wieder.