Minimalpolynome ähnlicher Matrizen sind gleich. Bzw.: Das Minimalpolynom ist invariant unter Konjugation.
Das heißt: Wenn man zwei Matrizen \(M_1, M_2\in K^{n\times n}\) hat, so dass eine Matrix \(S\in\text{GL}(n, K)\) mit \(M_2 = S M_1 S^{-1}\) existiert. So haben \(M_1\) und \(M_2\) das gleiche Minimalpolynom.
Beweis:
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Das Minimalpolynom \(m_{M_1}(X)\in K[X]\) der Matrix \(M_1\in K^{n \times n}\) ist durch folgende Bedingungen eindeutig charakterisiert:
1-1. \(m_{M_1}(M_1)\) ist die Nullmatrix, also \(m_{M_1}(M_1) = 0\).
1-2. \(m_{M_1}\) ist normiert.
1-3. \(m_{M_1}\) ist das Polynom kleinsten Grades mit den Eigenschaften 1-1. und 1-2.
Genauso ist das Minimalpolynom \(m_{M_2}(X)\in K[X]\) der Matrix \(M_2\in K^{n \times n}\) durch folgende Bedingungen eindeutig charakterisiert:
2-1. \(m_{M_2}(M_2)\) ist die Nullmatrix, also \(m_{M_2}(M_2) = 0\).
2-2. \(m_{M_2}\) ist normiert.
2-3. \(m_{M_2}\) ist das Polynom kleinsten Grades mit den Eigenschaften 2-1. und 2-2.
Für jedes Polynom \(P(X) = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k X^k\in K[X]\) ist \[P(S M_1 S^{-1}) = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k (S M_1 S^{-1})^k = \sum_{k=0}^{d}\lambda_k S M_1^k S^{-1}=S\sum_{k=0}^{d}\lambda_k M_1^k S^{-1} = S P(M_1) S^{-1}\text{.}\]
Insbesondere ist also \[m_{M_1}(M_2) = m_{M_1}(S M_1 S^{-1}) = S m_{M_1}(M_1) S^{-1} \stackrel{1-1}{=} S 0 S^{-1} = 0\text{.}\]
Damit erfüllt \(m_{M_1}\) die Eigenschaft 2-1. Außerdem ist \(m_{M_1}\) wegen 1-2 normiert, erfüllt also auch 2-2. Angenommen es gäbe ein Polynom \(\mu(X)\in K[X]\) kleineren Grades als \(m_{M_1}\), welches die Bedingungen 2-1 und 2-2 erfüllt. Dann wäre \[\mu(M_1) = \mu(S^{-1} M_2 S) = S^{-1} \mu( M_2) S \stackrel{2-1}{=} S^{-1} 0 S = 0,\] weshalb die Bedingung 1-1 erfüllt. Außerdem wäre \(\mu\) wegen 2-2 normiert, würde also auch 1-2 erfüllen. Damit hätte man ein Polynom kleineren Grades als \(m_{M_1}\) gefunden, welches die Bedingungen 1-1 und 1-2 erfüllt. Das wäre im Widerspruch dazu, dass \(m_{M_1}\) das Minimalpolynom von \(M_1\) wäre, da 1-3 verletzt wäre.
Damit ist \(m_{M_1}\) das Polynom kleinsten Grades, welches 2-1 und 2-2 erfüllt. Demnach ist bei \(m_{M_1}\) auch 2-3 erfüllt, so dass \(m_{M_1}\) das Minimalpolynom von \(M_2\) ist. Damit ist also \(m_{M_1} = m_{M_2}\).
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Für \(M_1 = A B\) und \(M_2 = B A\) und \(S = B\) erhält man daraus nun \(m_{A B} = m_{B A}\).