Symmetrische Differenz linearer Abbildung im F₂

Question

Aufgabe:

Für eine Menge M und einen Körper K bilden die Abbildungen \( f: M \rightarrow K \) bei punktweiser Addition und Skalarmultiplikation einen K-Vektorraum \( K^M \). Mit \( K = \mathbb{F}_2 \) soll hier gezeigt werden:

\( E:\ \mathbb{F}_2^M \rightarrow P(M), f \mapsto \{x \in M | f(x) = 1 \} \)

ist ein Vektorraum-Isomorphismus, wenn P(M) als \( \mathbb{F}_2 \)-Vektorraum betrachtet wird.

Ich weiß nicht, was genau von mir verlangt wird, geschweige denn, wie ich anzufangen habe.

Answer 1

Der Körper K ist der, der nur 0 und 1 enthält.
K hoch M ist die Menge aller Abbildungen von M nach K
solche Abbildungen kann man addieren durch   (f+g)(m)=f(m) + g(m)
und mit Körperelemneten multiplizieren   0*f = 0 (Nullabbildung, alle Bilder sind 0)
und                                                                      1*f = f  die Bilder von 1*f sind die gleichen wie bei f.
Mit dem E wird jeder Abbildung eine Teilmenge von M  (alle Teilmengen bilden ja P(M) ) zugeordnet
 nämlich alle diejenigen, die auf1 abgebildet werden, die Urbildmenge von 1.
und P(M) bildet auch einen F2   VektorR, da man Teilmengen von M "addieren" kann durch Bilden der
symmetrischen Differenz  und multiplikation etwa so   1*M = M und 0*M=leere Menge {}

Dann musst du nicht mehr viel zeigen:
1.  Homomorphismus:   a)    E(f+g)  =  E(f) + E(g)     und     b)   E(x*f)  =x*E(f)
2. injektiv    E(f) = E(g) folgt {x aus M | f(x)=1 }  =   {x aus M | g(x)=1 }
                                    d.h. bei den x-en die auf 1 abgebildet werden stimmen f und g überein.
                                       da für den Rest f(y) = g(y) = 0 gilt   ,  mehr Möglichkeiten gibt es ja nicht,
                                        stimmen sie auch dort überein.   also  f=g.
3. surjektiv    musst zeigen: Jede Teilmenge von M kommt als Bild vor.
                         Ist A eine Teilmenge von M so definiere
                                f :  M  → K mit  f(x)=1 falls x aus A
                                                                   sonst 0.
dann ist E(f) = A.