Kern und Bild einer linearen Abbildung und Dimension (3x4 Matrix)

Question

Die reelle \( 3 \times 4 \) -Matrix
$$ A:=\left[\begin{array}{rrrr} {4} & {-1} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} & {-1} \\ {4} & {-1} & {3} & {-2} \end{array}\right] $$
kann als lineare Abbildung von \( \mathbb{R}^{4} \) nach \( \mathbb{R}^{3} \) aufgefasst werden:
$$ A:\left\{\begin{array}{ll} {\mathbb{R}^{4}} & {\rightarrow \mathbb{R}^{3}} \\ {\vec{x}} & {\mapsto A \vec{x}} \end{array}\right. $$
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen zutreffen. Denken Sie daran alle ja-nein-Fragen zu beantworten.

	Ja	Nein
Der Kern von \( A \) hat die Dimension 0	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Der Kern von \( A \) hat die Dimension 1	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Der Kern von \( A \) hat die Dimension 2	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Der Kern von \( A \) hat die Dimension 3	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Das Bild von \( A \) hat die Dimension 0	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Das Bild von \( A \) hat die Dimension 1	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Das Bild von \( A \) hat die Dimension 2	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Das Bild von \( A \) hat die Dimension 3	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)

	Ja	Nein
Die folgenden beiden Vektoren sind im Kern von \( A \) \( \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Die folgenden beiden Vektoren sind im Kern von \( A \) \( \left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 3 & 3\end{array}\right], \left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Die folgenden beiden Vektoren sind im Kern von \( A \) \( \left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)

	Ja	Nein
Die folgenden Vektoren sind eine Basis des Bildes von \( A \) \( \left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Die folgenden Vektoren sind eine Basis des Bildes von \( A \) \( \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)
Die folgenden Vektoren sind eine Basis des Bildes von \( A \) \( \left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right] \)	\( \bigcirc \)	\( \bigcirc \)

Answer 1

Bring mal erst die Matrix auf Stufenform, gibt etwa

1  -0,25  0,5   -o,25

0       0      1         -1

0         o     o          0

Also Kern und Bild je dim=2

Kern von A ist Teil von IR^4

aber   die SPALTE mit o o 1 1 nicht.

Basis des Bildes müssen 2 Vektoren von IR^3 sein wegen dim=2

und die erste und 3. Spalte von A sind ja fast die Basis aus der

drittletzten Frage, also die stimmt, die anderen nicht