Bestimmen Sie Kern F und Bild F für die Standardinterpretation F = F_{A}

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie Kern \( F \) und Bild \( F \) für die Standardinterpretation \( F=F_{A} \) von

\( A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \)

b) Im \( \mathbb{R}^{2} \) seien drei Vektoren \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) gegeben, im \( \mathbb{R}^{3} \) seien \( e_{1}, e_{2}, e_{3} \) die Einheitsvektoren. Wieso gibt es keine lineare Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \), die für alle \( i=1,2,3 \) die Bedingung \( F\left(v_{i}\right)=e_{i} \) erfüllt?

Ansatz:

Zu a) Wie habe ich Kern und Bild zu bestimmen bei Aufgabenteil a? Handelt es sich dabei um eine Abbildung von den Vektoren Zeilen als Spalten zu den Spalten der Matrix? Muss ich für die Bestimmung des Kerns einfach die Matrix 0 setzen? Und wie bestimme ich das Bild?

Bei b) würde ich darauf tippen, dass es etwas mit der unterschiedlichen Dimension zu tun hat, dass sich die Einheitsvektoren nicht erzeugen lassen, da diese eine Basis sind und sich selbst mit einer Basis aus dem lR² nicht die Basis des lR³ erzeugen lässt. Ich könnte mir vorstellen, dass man 2 der Einheitsvektoren erzeugen könnte, aber niemals 3 da wenn man alles Elemente zusammen zählt man auf 6 kommt, da würden also immer mindestens 3 Werte fehlen, die man zur Erzegung bräuchte.

Answer 1

Stand.interp.   f :    IR^3  ------>  IR^2
    
                                   x1                                                     x1
                      x =        x2   → A * x    =   A   *     x2
                                   x3                                                     x3

Kern....    A *x =  0-Vektor von IR^2  gibt ein lin. Gl.system mit 2 Gl'en

Matrix auf Stufen form:     gibt z.B.

1     5/4      3/2
0        1       2 
also x3 frei wählbar, etwa x3 = t   und    x2 = -2t     x1 = -t 
also Vektoren im Kern sehen so aus  (  -t  ;  -2t  ;   t )  =   t * (-1  ;  -2 ;  1)
Damit ist (-1  ;  -2 ;  1) eine Basis des Kerns.

Bild:  alles was sich in der Form  a*v1  + b*v2  + c*v3 schreiben lässt, wobei die v's
die Spalten von A sind.
Da Bild(f) Unterraum von IR^2 sein muss, ist dim<=2 
wegen   -1*v1 + 2*v2 = v3  wird v3 bei der Darstellung des Erzeugnis nicht benötigt,
muss also in der Basis wegbleiben.  Aber v1 v2 sind lin unabh.
bilden demnach eine Basis von Bild f.

zu b) wie du richtig sagst, sind die v-Vektoren aus IR^2, also wiel es drei Stück sind linear
abhängig,(*) dann sind ihre Bildvektoren aber auch linear abhängig können also nicht die drei
linear unabhängigen  e1  e2  e3 sein.
(*) gilt für jede lin Abb., da ja immer   f(a*v1+b*v2+c*v3) = af(v1) + bf(v2) + c*f(v3) gilt
und wenn a*v1+b*v2+c*v3=0 eine nichttriviale Lösung hat, dann eben
af(v1) + bf(v2) + c*f(v3) =0 auch.