Berechne folgende Extremwertaufgabe

Question

Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis .

Wählen Sie die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U 100 m des Querschnitts sein Inhalt möglichst groß wird.

Answer 1

Mach mal eine Skizze:
Rechteck hat die Breite a und die Höhe b
Also Halbkreis mit r = a/2

also Umfang = b + Halbkreislänge + b = 2b + 1/2* 2 * r * pi
                            =  2b + pi *a/2

wegen u=100 gilt    100 = 2b + pi *a/2  also b= 50-a*pi/4

Für die Fläche gilt   A= a*b + Halbkreisfläche  =  a*b  + 1/2* r^2*pi  =  a*b =  1/2 * (a/2 )* pi

Jetzt für b das Ergebnis von oben einsetzen, dann hast du für A eine Gleichung mit a als einziger Variable.

also A(a) = ..................    Dann mit A ' (a) = 0 und A ' '(a) < 0 das Maximum bestimmen.