a) Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), zu welcher reelle Zahlen \( M \geq 0 \) und \( \gamma \in(0,1) \) derart existieren, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \)
\( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq M \gamma^{n} \)
gilt, eine CAUCHYfolge ist.
Gilt die Aussage auch, wenn Sie nur
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0 \)
annehmen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Folgern Sie, dass es genügt zu wissen, dass für alle \( n \geq 1 \)
\( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq \gamma\left|a_{n}-a_{n-1}\right| \)
gilt, damit \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \) eine CAUCHYfolge ist.
b) Nutzen Sie diese Aussage von Teil a), um zu zeigen dass die rekursiv durch \( a_{0}=1 \) und
\( a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \)
definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert.
Hinweis zu a): Zeigen Sie zunächst, dass eine reelle Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \) genau dann eine CAUCHYfolge ist, wenn es zu jedem \( \varepsilon>0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \) derart gibt, dass für alle \( n \geq N \) und alle \( m \in \mathbb{N} \)
\( \left|a_{n+m}-a_{n}\right|<\varepsilon \)
gilt (dies ist eine alternative Definition einer CAUCHYfolge).
