Gegeben seien die Funktion f(x) = 0.5·x^2 - 3·x - 1, x ∈ ℝ und xa = 1.
a) Berechnen Sie für h = 1 die beiden Änderungsraten
ÄR1 = (f(xa + h) - f(xa)) / h
ÄR1 = ((0.5·(xa + h)^2 - 3·(xa + h) - 1) - (0.5·xa^2 - 3·xa - 1)) / h
ÄR1 = (0.5·xa^2 + h·xa + 0.5·h^2 - 3·xa - 3·h - 1 - 0.5·xa^2 + 3·xa + 1) / h
ÄR1 = (h·xa + 0.5·h^2 - 3·h) / h
ÄR1 = xa + 0.5·h - 3
Für xa = 1 und h = 1
ÄR1 = 1 + 0.5·1 - 3 = - 1.5
ÄR2 = (f(xa) - f(xa - h)) / h
ÄR2 = ((0.5·xa^2 - 3·xa - 1) - (0.5·(xa - h)^2 - 3·(xa - h) - 1)) / h
ÄR2 = (0.5·xa^2 - 3·xa - 1 - 0.5·(xa - h)^2 + 3·(xa - h) + 1) / h
ÄR2 = (0.5·xa^2 - 3·xa - 1 - 0.5·xa^2 + h·xa - 0.5·h^2 + 3·xa - 3·h + 1) / h
ÄR2 = (h·xa - 0.5·h^2 - 3·h) / h
ÄR2 = xa - 0.5·h - 3
Für xa = 1 und h = 1
ÄR1 = 1 - 0.5·1 - 3 = - 2.5
b) Stellen Sie f sowie ÄR1 und ÄR2 grafisch dar.
c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an den Graphen von f für xa = 1 über die momentane Änderungsrate von f an dieser Stelle.
ÄR1 = xa + 0.5·h - 3
Für xa = 1 und h = 0
ÄR1 = 1 + 0.5·0 - 3 = - 2
d) Stellen Sie in der Zeichnung von Teil b die Tangente aus Teil c grafisch dar.
...
e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente aus Teil c.
t(x) = 2·(x - 1) - 3.5 = 2·x - 5.5
