Aufstieg eines Heissluftballons - Rekonstruktion von Funktionen

Question

Nach dem Aufstieg eines Heißluftballons wird zur Zeit t (in min) die Höhe h(t) bestimmt (rote Tabellenwerte).

\( \begin{array}{|c|cccccc|}\hline t & {\color{#F00}{0}} & {20} & {\color{#F00}{50}} & {70} & {\color{#F00}{100}} & {120} \\ \hline h(t) & {\color{#F00}{300}} & {(280)} & {\color{#F00}{200}} & {(120)} & {\color{#F00}{100}} & {(130)} \\ \hline\end{array} \)

a) Die Höhenfunktion h(t) lässt sich beschreiben durch eine ganzrationale Funktion der Form \( h(t)=a t^{3}+b t^{2}+c \) Bestimmen Sie aus den roten Tabellenwerten die Funktionsgleichung.

b) Bei den schwarzen Tabellenwerten handelt es sich nur um Schätzwerte. Prüfen Sie, ob diese Schätzwerte mit der Flugkurve vereinbar sind.

Answer 1

f(0) = 300
f(50) = 200
f(100) = 100

c = 300
125000·a + 2500·b + c = 200
1000000·a + 10000·b + c = 100

Wir kommen auf die Lösung

f(x) = 0,0004·x^3 - 0,06·x^2 + 300

Answer 2

zuerst musst du ein gleichungssystem aufstellen dazu musst du einfach alle werte die in rot in der tabelle stehen in die gleichung einsetzen also z.b. bei dem ersten wo t=0 ist und h=300 musst du die werte in die grundgleichung h(t) einsetzen sodass es ungefähr so aussieht:

$$h(t)=at^3+bt^2+c$$

$$300=a*0^3+b*0^2+c$$

$$300=c$$

das gleiche musst du auch mit den anderen beiden punkten machen

da wird dann rauskommen

$$200=125000a+2500b+c$$

und

$$100=10^6a+10^4b+c$$

anschließend musst du das gleichungssystem durch einsetzverfahren addidtionsverfahren oder gleichsetzungsverfahren lösen, es gibt auch noch andere methoden, wie den gauß algorithmus.

dies soll hier aber nicht erklärt werden, nach anfrage aber gerne ;)

https://www.matheretter.de/wiki/lineare-gleichungssysteme

hier ein link dazu ;)

Comments

kannst du vielleicht doch einmal die schritte mit dem additionsverfahren machen

also ich habe es gerade selber probiert komme aber leider nicht auf das Ergebnis was auch in den antworten steht

---

$$[1] 300=c$$
$$[2] 200=125000a+2500b+c$$
$$[3]100=10^6a+10^4b+c$$

$$[2] \cdot (-4) -> -800=-500000a-10^4b-4c$$

$$[1] 300=c$$
$$[2'] -800=-500000a-10^4b-4c$$
$$[3] 100=10^6a+10^4b+c$$

$$[2']+[3]->  -700=500000a-3c$$
$$[2'']  -700=500000a-3c$$

$$[2'']+3 \cdot [1] -> 200=500000a$$

$$\frac{1}{2500}=a$$

dies kannst du nun einfach in die anderen gleichungen einsetzen:
da du nun a und c gegeben hast ist b die einzige variable und du kannst nach ihr umformen ;)
$$[3]-> 100=10^6(\frac{1}{2500})+10^4b+300$$

$$b=-\frac{3}{50}$$

nun hast du alle koeffizienten berechnet und die funktionsgleichung lautet:

$$h(t)=\frac{1}{2500}t^3-\frac{3}{50}t^2+300$$

ich bevorzuge bei solch einfachen aufgaben immer das einsetzungs/eliminationsverfahren aber das soll jedem selbst überlassen sein.