Erwartungswert im Roulettespiel pro Spielrunde berechnen

Question

Aufgabe:

Beim Roulettespiel fällt pro Spielrunde (pro gedrehtem Coup) eine Kugel zufällig in eines von 37, von 0 bis 36 nummerierten, Fächern. Aufgrund langjähriger Beobachtungen haben Roulettespieler festgestellt, dass nach 37 Spielrunden etwa 2/3 aller 37 Zahlen aufgetreten sind.

Betrachten Sie allgemeiner n Teilchen (n aus N), die zufällig und unabhangig voneinander auf n Fächer verteilt werden. Die Zufallsvariable Xn gebe die Anzahl der (unter Umständen mehrfach) besetzten Fächer an.

Beweisen Sie, dass gilt $$E(X)=n(1-(1-\frac { 1 }{ n } )^{ n })$$

Dazu haben wir noch folgenden Hinweis bekommen:

Berechnen Sie hierfür nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Xn, sondern stellen
Sie Xn geeignet als Summe von Indikatorvariablen dar!

Mein Problem ist es nun,dass ich überhaupt keine Idee habe, wie ich Xn als Summe von Indikatorvariablen darstellen kann.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in ein Fach gelegt wird ist \( p = \frac{1}{n} \).

Nach \( n \) Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, das in einem Fach mindestens ein Teilchen liegt

$$ q = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k} = 1 - \binom{n}{0} p^0 (1-p)^n = 1 - (1-p)^n  $$

Der Erwartungswert, dass in \( n \) Fächern mindestens ein Teilchen liegt ist somit $$  E = n q = n \left(1 - (1-p)^n\right) = n \left(1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right) $$