Zeigen Sie, dass λ ein Eigenwert von A ist genau dann wenn A ein Eigenwert von A^{T} ist.

Question

(a) Zeigen Sie, dass \( \lambda \) ein Eigenwert von \( A \) ist genau dann wenn \( A \) ein Eigenwert von \( A^{\top} \) ist.

(b) Es sei \( A \) eine \( n \times n \)-Matrix mit der Eigenschaft, dass die Summe aller Zeilen gleich derselben Zahl \( s \) ist. Zeigen Sie, dass \( s \) ein Eigenwert von \( A \) ist. Hinweis: finden Sie einen Eigenvektor.

(c) Es sei \( A \) eine \( n \times n \)-Matrix mit der Eigenschaft, dass die Summe aller Spalten gleich derselben Zahl s ist. Zeigen Sie, dass s ein Eigenwert von \( A \) ist. \( C \)

Hinweis: Verwenden Sie \( (a) \) und \( (b) \).

Answer 1

a) es genügt zu zeigen: Behauptung:  det(A - λE) = 0 ⇔ det(A^T - λE) = 0

Voraussetzungen: 

det A = det A^T .....................................(1)

(A+B)^T = A^T+B^T ...............................(2)

E^T = E ..........................................(3)

u.a.

Beweis: 

det(A^T - λE) = 0 <=> ..........................................wegen (3) 

det(A^T - λE^T) = 0 <=> ......................................wegen (2) 

det(A - λE)^T = 0 <=> ............................................wegen (1)

det(A - λE) = 0