Beweisen Sie, dass λ-s ein Eigenwert von A- s*I ist

Question

Aufgabe:

Seien n eine nat. Zahl, A eine nxn Matrix, λ ein Eigenwert von A, sowie s eine reelle Zahl. Beweisen Sie, dass λ-s ein Eigenwert von A- s*I ist

Problem/Ansatz:

Ich komme bei diesem Beweis leider nicht weiter. Mein Ansatz ist, dass ich anfange, den Eigenwert nach „Vorschrift“ zu berechnen

(sprich λ*I-A, anschließend die Determinante bestimmen und diese gleich null setzen -> das ist ja bekannt und gesetzt).

Wenn λ-s ein EW von A-s*I sein sollte, dann kann man das doch so aufschreiben:

(λ*I-(A-s*I)) => λ*I-s*I-A => (λ-s)*I-A

Ist der Ansatz richtig und wie komme ich hier bestenfalls weiter? Ich müsste ja jetzt noch zeigen, dass mit diesem Eigenwert die Determinante von A null wird…

Answer 1

Es sei \(\lambda\in\mathbb R\) ein Eigenwert der Matrix \(A\in\mathbb R^{n\times n}\) und \(s\in\mathbb R\) eine reelle Zahl.
Dann existiert ein Eigenvektor \(v\in\mathbb R^n\setminus\lbrace0\rbrace\) von \(A\) mit
\(Av=\lambda v\).
Subtrahiere \(sv\):
\(Av-sv=\lambda v-sv\).
Klammere \(v\) aus:
\((A-sI)v=(\lambda-s)v\).
Damit ist \(v\) ein Eigenvektor der Matrix \(A-sI\) und \(\lambda-s\) ein zugehöriger Eigenwert, was zu zeigen war.