Weise alle Sattelpunkte oder Extrempunkte der gegebenen Funktion nach!

Question

folgende Funktion ist gegeben :

f(x)=x⁵  -15x³ -30

ich bin jetzt schon soweit aber komme nicht weiter deshalb bitte ich um Hilfe

f'(x)= 5x⁴-45x²

notwendige Bedingung

f'(xe)=0

f'(0)= 5xe⁴-45xe²

0=5x²(x²-9)

Ich weiß nicht ob es bis dahin richtig ist aber wie kann man dann weiterrechnen wenn ich weiß, dass es keine Tief und Hochpunkte gibt weiß ich ja das es Sattelpunkte sind ( wir haben zu den Sattelpunkten noch keine Rechnung durchgenommen)

Answer 1

Bilde die weiteren Ableitungen und schau hier an, welche Bedingungen für welche Punkte gelten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion

Answer 2

f(x) = x^5-15x^3-30

f'(x) = 5x^4-45x^2

f''(x) = 20x^3-90x

f'''(x) = 60x^2-90

Extrempunkte:

f'(x) = 0 = 5x^4-45x^2 = 5x^2(x^2-9)

x_1,2 = 0 und x_3,4 = ±3

Überprüfen mit der zweiten Ableitung, dann damit in die Funktion selbst.

Hochpunkt H(-3|132)

Tiefpunkt T(3|-192)

Die anderen beiden Stellen bedürfen weiterer Untersuchung:

Wendepunkte:

f''(x) = 0 = 10x(2x^2-9)

x_5,6 = ±3/√2 und x₇ = 0

Überprüfen mit der dritten Ableitung, dann in die Funktion einsetzen.

W₁(-3/√2|70,23) und W₂(3/√2|-130,23)

Die Stelle x = 0 ist ein Wendepunkt. Da diese Stelle auch die Ableitung 0 hat, ist dies sogar ein Sattelpunkt (also ein spezieller Wendepunkt).

W(0|-30)

Grüße

Comments

Also muss die Funktion aufjedenfall beides haben? Also geht nicht nur sattelpunkte?

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Wie meinste das?

Answer 3

Extrempunkte f'(x) = 0

5·x^4 - 45·x^2 = 0

5·x^2·(x^2 - 9) = 0

x = -3 ∨ x = 0 (doppelte Nullstelle) ∨ x = 3

f(-3) = 132 --> Hochpunkt (weil 132 > -30)

f(0) = -30 --> Sattelpunkt (weil doppelte Nullstelle, d.h. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel)

f(3) = -192 --> Tiefpunkt (weil -192 < -30)