Zeigen Sie, dass (ℤm, +m, ·m) genau dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist (Restklassenringe)

Question

Aufgaben:

a) Zeigen Sie, dass (ℤ_m, +m, ·m) genau dann ein Körper ist, wenn m eine Primzahl ist.

b) Zeigen Sie für alle m ∈ℕ, dass auch wenn m keine Primzahl ist, (ℤ_m, +m, ·m) ein kommutativer Ring mit Eins ist.

c) Können Sie die abelsche Gruppe (ℤ_m, +m) anordnen? Wenn ja, geben Sie eine partielle Ordnung ≤ m an und zeigen Sie, dass (ℤ_m, +m, ≤ m) damit eine geordnete abelsche Gruppe ist. Wenn nein,beweisen Sie dies.

Answer 1

wenn m keine primzahl ist, gibt a,b aus IN mit a*b=m und a,b sind nicht 1.
dann gilt in Zm      a*b=0 mit a,b beide ungleich Null, aber in einem Körper gibt es keine
Nullteiler   Ähnlich könnte man dann auch zeigen:  a hat kein Inverses bzgl. *

musst du die Ringaxiome durchgehen, kommutativ ist eh klar wegen komm. in Z
und 1 ist die Restklasse in der die 1 aus Z ist.