Matrix berechnen mit Gleichungssystem

Question

Gegeben:

(1) \( a^{\top} M b+103=0 \)

(2) \( a^{\top}(M+E) b+98=0 \)

\( M \) ist eine symmetrische Matrix

\( E \) ist die \( 2 \times 2 \)-Einheitsmatrix

\( a=(10 ; 1)^{\top} \) und \( b=(1 ;-5)^{\top} \)

Gesucht:

\( \mathrm{M} \), also \( m_{11}, m_{12}, m_{21} \) und \( m_{22} \)

Ansatz:

Ich habe versucht, in Gleichung 1 einzusetzen und komme dann auf Lösungsvorschläge mit (10 m11 + 10 m12; -5m21 -5m22) = -103, stimmt das? Und wenn ja wie weiter?

Comments

M ist eine symmetrische Matrix.

Setze daher gleich m12 = m21. Du hast dann nur 3 Unbekannte.

Answer 1

Du hast das b vergessen:

( 10 m11 + 10 m12; -5m21 -5m22) *b  =-103


mit   b =  ( 1 ; -5 ) ^T  hast du

( 10 m11 + 10 m12)*1   + (-5m21 -5m22)*-5  = -103

und weil M sym. ist, ist m12 = m21

und aus (2) bekommst du auch noch eine Gleichung.

Comments

Aber das b habe ich berechnet sonst wäre ich ja nicht auf die -5 in meiner Gleichung gekommen,  oder bin ich grade auf dem völlig falschen Weg?

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das hatte ich gar nicht so genau gesehen:

Du rechnest doch erst mal a^T * M das gibt eine Matrix mit einer

Zeile und 2 Spalten

[ 10m11 + m21        10m12+m22 ] und die jetzt mal b gibt

eine einzige Zahl nämlich    ( 10m11 + m21)*1 + (10m12+m22)*(-5)

= 10m11 +m21 - 50m12 -5m22 und mit  m12=m21

= 10m11  - 49m12 -5m22

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Super danke jetzt sehe ich meinen Denkfehler....jetzt hoffe ich weiter zu kommen :)

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Mh wenn ich die zweite Gleichung löse komme ich auf dieselbe Gleichung wie die erste und damit kann ich die drei unbekannten nicht lösen....oh man ich glaub ich bekomme das mit dem nie hin,  :(

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Dann gibt es halt viele Lösungen.

wenn du z.B. m11=a und m12=b nimmst,

dann muss ja gelten

10a  - 49b -5m22 =-103

also -5m22 =  -103 -10a -49b

also m22 =   20,6 +2a +9,8b

also ist die Matrix     

a                  b

b              20,6+2a+9,8b

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Also ich hab den ganzen Tag gestern gerechnet und komme mit der Lösungsmatrix nicht auf richtige Ergebnisse für die Gleichung

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irgendwo war da auch was falsch: ach so, schon in meiner

ersten Gleichung:

Du rechnest doch erst mal a^T * M das gibt eine Matrix mit einer

Zeile und 2 Spalten

[ 10m11         10m12+m22 ] und die jetzt mal b gibt

das m12 gehörte da nicht hin, weil die Matrix links unten eine Null hat

tut mir Leid, war ja Sonntag

eine einzige Zahl nämlich    ( 10m11 *1 + (10m12+m22)*(-5)

= 10m11  - 50m12 -5m22

also gibt die erste Gleichung insgesamt

= 10m11  - 50m12 -5m22 +103

und die zweite in der Tat das gleiche.

Dann gibt es halt viele Lösungen.

wenn du z.B. m11=a und m12=b nimmst,

dann muss ja gelten

= 10m11  - 50m12 -5m22 +103

10a  - 50b -5m22 =-103

also -5m22 =  -103 -10a +50b

also m22 =   20,6 +2a -10b

also ist die Matrix     

a                  b

0              20,6+2a-10b

Und die ist nun wirklich richtig !!

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Wieso kommt da eine 0 hin, M muss doch eine symmetrische Matrix sein.

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o ha, zu früh gefreut, du hast natürlich recht.

Ich hatte vorhin was mit ner Dreiecksmatrix im Kopf.

deshalb war das vorhin nat. Quatsch, also noch mal:

Die Gleichungen sind dann (m11=a   diagonale b und mss=c)

10a -49b -5c +103 = 0

-5c= -103 -10a + 49b

c = 20.6 +2a -9.8

also

a                  b

b             20,6+2a--9,8b

Prüf noch mal nach, ich glaub ich bin etwas durcheinander,
habe aber das Gefühl, dass dies nun wirklich stimmen wird ???

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Ja es stimmt jetzt,  vielen Dank