Polynom beweisen Binomialkoeffizient

Question

Kann mir vielleicht jemand helfen?
Zeigen Sie :
jedes quadratische Polynom a*x^2 +b*x+c lässt sich als Linerakombination von bk, k=0,1,2 schreiben
bk(x) (2über k)* (1-x)^{2-k} * x^k

Comments

Ich glaube Du musst die Aufgabe mal richtig hinschreiben. Was ist z.B bk(x)?

Answer 1

es ist
b1(x) = 1* (1-x)^2 * 1   = x^2 -2x +1
b2(x) = 2 *(1-x)*x    =  -2x^2  + 2x
b3(x) = 1 * 1 * x^2    =  x^2 

Sei nun p(x) = a*x² +b*x+c
und p(x) = p*b1(x) + q*b2(x) + s*b3(x) die gesuchte Linearkomb.
dann gilt
p(x)  =   (p-2q+r)*x^2   +  (2q-2p) * x   +  (p + 2q)*1
Koeffizientenvergleich liefert
p-2q+r=a           2q+2p=b          p+2q=c

jetzt p,q,r ausrechnen z.B p = b-c   etc.

und fertig !