Bestimmen Sie den Scheitelpunkt einer rotierenden Flüssigkeit mit 2 Ltr Volumen in einem Gefäß

Question

Das Oberflächenprofil einer rotierenden Flüssigkeit ist gegeben durch:

\( h(\omega, r)=\frac{\omega^{2}}{2 \cdot g} \cdot r^{2}+h_{0} \)

Das Volumen der rotierenden Flüssigkeit

\( V(\omega)=\pi \cdot R^{2} \cdot\left(\frac{R^{2}}{4 \cdot g} \cdot \omega^{2}+h_{0}\right) \)

a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt einer rotierenden Flüssigkeit mit 2 Ltr Volumen in einem Gefäß mit Radius \( R=10 \mathrm{~cm} \) bei einer Winkelgeschwindigkeit von \( \omega=20 \mathrm{~s}^{-1} ? \)

b) Welche maximale Höhe erreicht die Flüssigkeit an der Wand, wenn der Gefäßboden in der Mitte gerade noch von der Flüssigkeit benetzt ist?

Answer 1

o = omega

V ( o ) = π * R^2 * ( R^2 / ( 4 * g ) * o^2 + h0 )

V = 2 ltr = 2 dm^3 = 2 * 10^{-3} m^3
π = Kreiszahl = 3.14...
R = 10 cm = 0.1 m
g = Erdbeschleunigung = 9.81 m/s^2
o = 20 s^{-1}

h0 ist der Scheitelpunkt und wird gesucht.

R^2 / ( 4 * g ) * o^2 + h0 = V / ( π * R^2 )

h0 = V / ( π * R^2 ) - R^2 / ( 4 * g ) * o^2

h0 = 2 * 10^{-3 } / ( π * 0.1^2 ) - 0.1^2 / ( 4 * 9.81 ) * 20^2

b.)
h0 = 0
h = o^2 / ( 2 * g ) * R^2
h = 20^2 / ( 2 * 9.81 ) * 0.1^2

Schaffst du den Rest allein ?