Bogenmaß Gradmaß - Sinus und Ableitung

Question

Hey ihr,könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?

Warum gilt sin(x)' = cos(x) nur für x im Bogenmaß und nicht im Gradmaß?(Hinweis: Umrechnung von Bogenmaß in Gradmaß)

Danke euch schon im voraus für die Hilfe!

Answer 1

Zeichne mal den SIN(x) für x im Bogenmaß und für x im Gradmaß. Man sollte erkennen das sich die Steigungen der Funktionen unterscheiden. Folglich muss die erste Ableitung auch anders aussehen.

Die Ableitung von SIN(x) ist nur im Bogenmaß COS(x). Die Steigung der Sinusfunktion ist z.B. an der Stelle 0 genau 1. Das kann man auch an der Steigung ablesen. Für den SIN im Gradmaß gilt das wohl nicht.

Es gilt nach Kettenregel

[SIN(x°)]' = [SIN(x*pi/180)] = COS(x*pi/180)*pi/180 = COS(x°)*pi/180

Comments

Wie zeichnet man das denn? Ich dachte immer, die Ableitung siehe gleich aus

Warum ist die Steigung im Gradmaß nicht 1 wenn x=0 ist?

Ich verstehe das Prinzip eigentlich schon.

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Ich habe doch oben die Sinusfunktion im Grad und Bogenmaß gezeichnet. Im Gradmaß ist es nur kaum zu erkennen wegen der Skalierung. Weil da ja eine Periode erst bei 360 vorbei ist.

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@mathecoach
Ich meine deine Antworten wären eher verwirrend. Siehe meine letzte
Antwort mit den tollen Skizzen.

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Ja. Leider ist deine Antwort eben nicht richtig.

Die Ableitung des Sinus im Gradmaß ist nicht einfach nur der Cosinus im Gradmaß.

Das hat mathef ja schon völlig richtig erkannt.

In meiner Skizze ist der Sinus im Bogenmaß und der Sinus im Gradmaß zu sehen. Achtung. Keine Ableitung also kein Cosinus.

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Ist die Zeichnung von georgborn nicht korrekt?

Du meintest ja, dass es zwei unterschiedliche Graphen sind, wie man an deinem Bild sehen kann.

Ist der lineare Graph die Sinusfunktion in Grad?

Wenn ja, warum ist der Graph linear?

Der unterschied zwischen den Ableitungen ist ja, dass beim Cosinus noch ein π/180 rangehängt wird, aufgrund der Kettenregel.

Aber warum ist das so? Warum ist die Sinusfunktion im Gradmaß nicht dieselbe, wie im Bogenmaß? Warum ist es sinnvoller bzw. warum gibt man x immer im Bogenmaß an?

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Der Sinus sieht im Gradmaß nur bis etwa 30 Grad linear aus. Hier nochmal eine andere Skalierung auf der x-Achse. Gezeichnet ist wieder die Sinus Funktion im Grad und im Bogenmaß.

Man beachte das man die Steigung 1 der Sinusfunktion im Bogenmaß nur gut Grafisch ablesen kann, wenn die Einheiten auf den Achsen gleich skaliert sind. Aber hier siehst du das die Sinusfunktion bis 30 Grad im Gradmaß fast linear wirkt.

Du siehst das die beiden Graphen an der Stelle x = 0 nicht die gleiche Steigung haben. Ein Grund warum es also günstig ist mit Funktionen im Bogenmaß zu rechnen ist der, dass die Ableitung vom Sin(x) eben genau der Cos(x) ist.

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Ich dachte bis eben immer, dass der  Schnittpunkt der Sinusfunktion mit der x - Achse bei π, 2π ect. ist? Und ich war auch der Meinung, dass π = 180° ist.

Das heißt aber eigentlich, dass die beiden Funktion gleich aussehen müssten, es würde dann genau so aussehen wie auf dem Bild: 

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Dies ist also falsch?

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ia178: Skizze nicht schlecht.

Wenn du die Sache massstäblich stimmig skalieren möchtest, sollte π ungefähr 3.14 messen, damit die Steigungswinkel stimmen.

Danach ist üblich π auch mit 180° anzuschreiben. In den Steigungsdreiecken in Grad, kannst du einfach die Steigung nicht in üblicher Form mit (delta y) / (delta x) beschriften und rechnen.

Answer 2

wenn x der Winkel im Bogenmaß ist
und a die Gradzahl des Winkels im Gradmaß, dann gilt x= a*pi/180

also sin(x) = sin(a*pi/180)   also  sin ' (x)  =  (pi/180) * cos(pi*a/180)
wegen der Kettenregel

Comments

Wie kommst du auf die x= a•π/180 ?

Ist das eine allgemeine Formel?

Und wieso wird das x denn NUR im Bogenmaß angegeben?

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Winkel können in ° oder im Bogenmass angegeben werden.
Beides ist üblich.

Ein Kreis wird in 360 Teile geteilt. Diese Einteilung nennt man Grad.
Dies aus praktischen Gründen z.B. in der Seefahrt oder in der
Geometrie ( Dreieckswinkel ).

Der Kreis hat einen Umfang von 2 * π * r. Unabhängig von r gilt
360 ° entspricht  dann 2 * π. Es gilt zur Umrechnung

( 2 * π ) / 360 = ( Winkel in Bogenmass ) / ( Winkel in Grad )

Mein Taschenrechner kann umgeschaltet werden von der Eingabe
in Grad oder Bogenmass.

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Alles klar danke dir, habe es zu 95% verstanden!

Answer 3

Die Ableitungsregel gilt sowohl für eine Angabe in Grad als auch in Bogenmass.
( sin ) ´= cos

Mein Tascherechner sagt

In Grad
sin ( 25 ) =  0.423
cos ( 25 ) = 0.906

in Bogenmass
25 ° entspricht ( 25/360 ) * 2 *π = 0.436
sin( 0.436 ) = 0.423
cos( 0.436 ) = 0.906

Comments

Warum wurd Sinus denn eigentlich fast immer nur im angegeben angeben?

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Wie würde es mit dem Beispiel f'(0) aussehen?

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f ( x ) = sin ( x )
f ´( x ) = cos ( x )

f ´( x ) ist die Steigung von f ( x ) im Punkt x.

In Bogenmass
f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = cos ( 0 ) = 1

Die Steigung ist also 1. Dies ist der Tangens des Steigungswinkels.
In Grad wäre dies 45 °

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Warum wäre es in Grad 45°?

Entschuldige, dass ich soviel nachfrage .. Ich will es nur wirklich zu 100% verstehen

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Am Besten du schaust dir Zusammenhänge am sogenannten
" Einheitskreis " oder den Graph der sin- und cos-Funktion einmal an.

Bogenmass von 0 .. 2*π 
oder
Winkel in Grad von 0..360
sind einmal eine komplette Umrundung des Kreises.

Auf einem Graph wird das als Einheit und Beschriftung
der x-Achse verwendet.

Der Sin ist  Verhältnis von Gegenkathete / Hypotenuse.
Wird im Einheitskreis als Hypotenuse r = 1 verwendet
kann der Sinus direkt abgelesen werden . ( y-Wert )

Der sin hat den Wertebereich -1 bis 1.

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Stell dir ein Dreieck vor in dem die Gegenkathete gleich
der Ankathete ist.

Der Tanges des Steigungswinkels wäre in diesem Fall
tan = Gegenkathete / Ankathete = 1

Der Winkel in Grad = 45 °
Der Winkel in Bogenmass : 45/360 = x/(2*π) = 0.786

45 ° kann man sich besser vorstellen als 0.786

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Fällt mir noch ein :

Das Bogenmass entspricht der Länge auf dem Kreis ( - bogen )
( des Kreisbogens )

Umfang Kreis von r = 1 cm : 2*π  * r = 6.28 cm
0.786 cm ist der Teil des Umfangs bis zum Winkel  45 °.
45 °  / 360 ° wäre 1/ 8
1/ 8 von 6.28 cm = 0.785 cm

Dies ist vielleicht anschaulich.

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Jetzt hab ichs verstadnen! Ich danke dir für deine wirklich ausführliche Erklärung!

Sinus ist also eine Längeneinheit und es ist deshalb sinnvoll, x im Bogenmaß anzugeben, oder?

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Man kann den Kreis in Grad oder im Bogenmass ( Bogenlänge )
unterteilen.

Bild 1 zeigt dir den Zusammhang.

Man kann die x-Achse in Grad unterteilen ( 2.Skizze )
oder im Bogenmass ( 3.Skizze ).

Die sin Funktion ist dieselbe.  Der Funktionswert des sinus
( Verhältnis Gegenkathete / Hypotenuse ) liegt zwischen
-1 und 1.

Wenn ich eine Berechnung mache in dem die Winkel in
Grad angegeben sind schalte ich den Taschenrechner auf Grad.
Wenn ich eine Berechnung mache indem die Winkel in Bogenmass
angegeben sind schalte ich auf Bogenmass.

Ich habe noch nie die Kettenregel bei der Ableitung eines sinus
angewendet.

Das Durcheinander kann man sich ersparen.

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Die sin- und cos Funktion sollte jeder Mathematiker zeichnen
können und hilft ungemein beim Erlernen der Zusammenhänge und
schafft mehr Klarheit.
Bin gern noch weiter behilflich.

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erstmal entschuldige ich mich für die verspätete Antwort!

Zweitens danke ich dich recht herzlich für diese Mühe! Echt super nett von dir, danke! :)

Also gibt es keinen graphischen Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß? Das habe ich nicht gewusst.

Warum nimmt man dann aber immer Bogenmaß? Mein Lehrer meinte nämlich, dass man nur im Bogenmaß angibt.

Danke für deine weitere Unterstützung!

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Die ganze Angelegenheit ist noch nicht ausdiskutiert.

Warum nimmt man dann aber immer Bogenmaß? Mein
Lehrer meinte nämlich, dass man nur im Bogenmaß angibt.

Wie schon gesagt gibt man Winkel z.B. im Dreieck in Grad
an weil dieses Maß anschaulicher ist. Also stimmt die
Ausage deines Lehrers nicht. Dies wirst du wahrscheinlich
selbst aus eigener Erfahrung bestätigen können.

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Oh okay. Dann verstehe ich meinen Lehrer nicht. Wieso sagt er dann sowas?

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georgborn: Dein Kreis zur Illustration von Bogenmass ist sehr gut. Aber

sin(0) = 0 und cos(0) = 1. Einverstanden?

Nun zeichne sin(x) in ein Koordinatensystem, in dem die x- und y-Achse gleich skaliert sind.

Mit Bogenmass π = 3.14... bekommst du eine Kurve, die in x=0 in etwas die Steigung 1 (Steigungswinkel 45°) hat. (In deiner Skizze etwas zu steil geraten).

Mit Gradmass ist die Steigung in x=0 viel weniger gross als 1. (Vgl. die Antworten von Mathecoach und Mathef).

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Ich bin derzeit noch am grübeln.
Deine Argumentation leuchtet mir ein.
Deine Argumentation leuchtet mir auch nicht ein.

Mein Taschenrechner ( auf Grad gestellt ) gibt für
cos ( 0 ) = 1 an.

Mein Taschenrechner ( auf Bogenmass gestellt ) gibt für
cos ( 0 ) = 1 an.

Ich beende für heute Abend die Diskussion und wünsche eine
gute Nacht.

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@mathef, mathecoach und Lu und den Fragesteller

Der Fragesteller fragte
Warum gilt sin(x)' = cos(x) nur für x im Bogenmaß und nicht im Gradmaß?

Antwort Mathef
[SIN(x°)]' = [SIN(x*pi/180)] = COS(x*pi/180)*pi/180 = COS(x°)*pi/180
( sin ( 30 ) ] ´= cos ( 30 ) * π/180 = 0.01511
Das ist falsch.

Mein Taschenrechner ist bei der Winkeleingabe umschaltbar von
Grad auf Bogenmass.

Mein Taschenrechner sagt bei
Winkel in Grad = 30 °
[ sin ( 30 ) ] ´= cos ( 30 ) = 0.866

30 ° umgerechnet in Bogenmass ist 0.523
Mein Taschenrechner sagt bei
Winkel in Bogenmass = 0.523
[ sin ( 0.523 ) ] ´= cos ( 0.523 ) = 0.866

Egal ob die Winkeleingabe in Grad oder Bogenmass erfolgt gilt
die Regel  sin(x)' = cos(x) .

Damit ist die Frage beantwortet.

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Werter Georg.

Bevor du dich mit solch komplizierten Fragen wie der Ableitung, d.h. der lokalen Steigung an einer Stelle befasst, könntest du dich ja mal mit der etwas einfacheren Frage nach der durchschnittlichen Steigung beschäftigen und die Frage beantworten, wie groß die durchschnittliche Steigung des Sinus' zwischen einer Nullstelle und dem nachfolgenden Maximum ist. Du darfst dazu gern Steigungsdreiecke in deine Funktionsgraphen einzeichnen und auch deinen Taschenrechner benutzen. Wenn du erkannt hast, dass die Antwort vom benutzten Winkelmaß abhängt, dann kannst du versuchen, das Ergebnis auf die Ableitung zu übertragen und du wirst hoffentlich erkennen, dass die allererste Antwort von Mathef bereits erschöpfend war.

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Unglücklichsterweise kann ich mit deiner Antwort nichts anfangen.

Wie schon häufiger gesagt, werde ich nicht in die Rolle verfallen
dir deine Weisheiten scheibchenweise aus der Nase zu ziehen.

Eine Besserung des Zustands wird wahrscheinlich erst dann eintreten wenn
du dich entschließen könntest eine eigene Antwort auf die Frage des
Fragestellers einzustellen. Bring es dann bitte direkt auf den Punkt.