Zeigen Sie, dass f auf (0,2) differenzierbar ist und bestimmen Sie alle x ∈(0,2), so dass die Steigung der Tangente …

Question

Sei \( f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \left(3-x^{2}\right) / 2 & \text { für } x \leq 1 \\ 1 / x & \text { für } x>1 \end{array}\right. \)

Zeigen Sie, dass \( f \) auf \( (0,2) \) differenzierbar ist und bestimmen Sie alle \( x \in(0,2) \), so dass die Steigung der Tangente an den Graphen von \( f \) in \( (x, f(x)) \) gleich der Steigung der Sekante durch die Punkte \( (0, f(0)) \) und \( (2, f(2)) \) ist.

Ansatz:

Ich bekomme für lim x→0 immer null heraus. für (3-x^2)/2)

Ich habe das so gemacht: lim x→0^- von (3-x^2)/2 -3/2 durch x-0 = lim x->0 von  -x^2/2x = 0

Mir fehlt jetzt lim x→2^+

Habe ich was falsch gemacht? Ich muss doch die Randpunkte 0 und 2 nehmen, um zu zeigen, dass sie differenzierbar ist oder?

Comments

Na, du hast dich offenbar verrechnet. Andererseits ist es so, dass f an den Rändern offensichtlich differenzierbar ist (warum?), so dass es hier nichts besonderes zu zeigen gibt. Desweiteren besteht die Aufgabe doch darin, die Differentzierbarkeit im Inneren zu untersuchen.

Answer 1

f1(x) = (3 - x^2)/2

f1'(x) = -x

f2(x) = 1/x

f2'(x) = - 1/x^2

f1(1) = f2(1) = 1 erfüllt.

f1'(1) = f2'(1) = -1 erfüllt.

f1(0) = 1.5

f2(2) = 0.5

m = (0.5 - 1.5) / (2 - 0) = -0.5

f1'(x) = -x = - 0.5 --> x = 0.5

f2'(x) = - 1/x^2 = -0.5 --> x = √2

Answer 2

.

also zunächst:  -> f ist überall stetig  in (0 ; 2)
und

für alle x  < 1 ist  ->   f ' (x) = -x   die Ableitung von f(x)= (3-x²)/2 
und
für alle x > 1  ist   ->  f ' (x) = - 1/x²   die Ableitung von f(x)= 1/x ..

um zu sehen, ob f für alle x aus (0 ; 2) diffbar ist
brauchst du also  nur  noch überprüfen ,
ob f an der "Nahtstelle" bei x=1 diffbar ist ..

dh, du musst den links- und den rechtsseitigen Grenzwert des
 Differenzenquotienten an der Stelle x=1 untersuchen

und du wirst herausfinden, dass diese beiden Grenzwerte existieren
und
beide gleich - 1 sind

damit weisst du, dass dein f also überall diffbar ist

ok?
.

Comments

Die Funktionswerte müssen natürlich auch übereinstimmen.

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Wahrlich !

Tun sie aber auch, sollte / kann direkt überprüft werden. Zudem: wenn f nicht stetig für alle x in (0:2) wäre, dann wäre nichts mit differenzierbar.