Wie errechne ich den Punkt einer horizontalen Tangente aus einer Funktion

Question

ich habe folgende Aufgabe:

"Gegeben ist die Funktion f(x)=x-x² auf dem Intervall 0 kleiner/gleich x kleiner/gleich 1

a.) In welchem Punkt hat diese  Funktion eine horizontale Tangente?

b.) Wo nimmt sie im angegeben Definitionsbereich den größten und wo den kleinsten Wert an?"

Ich weiss nicht wie ich den Punkt den Tangente rechnen soll. Ich weiss, dass das eine nach unten (also Minus) geöffnete Parabel ist, aber mich verwirrt das x davor.

Die Steigung für eine horizontale Tangente müsste doch 0 sein oder?

Das Maximium müsste doch der gleiche Punkt der horizontalen Tangente sein oder? Den kleinsten müßte ich errechnen....

Vielen Dank im Vorhinein für eure Hilfe!!!!!

Answer 1

Hi elrippo,

die Tangente findet sich im Scheitelpunkt bzw. im Extrempunkt. Mit der Ableitung.

a) f(x) = x-x^2

f'(x) = 1-2x

f'(x) = 1-2x = 0

1 = 2x

x = 1/2

Damit haben wir eine waagerechte Tangente an der Stelle x = 1/2. Haben also die Funktionsgleichung y = 1/4 (findet man heraus, wenn man x = 1/2 in f(x) einsetzt. Ist ja dann der y-Wert).

b) Der größte Wert wird beim Maximum, also bei x = 1/2 angenommen. Da eine Parabel Symmetrisch zum Scheitelpunkt ist und die Definitionsränder gleich weit weg sind, findet man da jeweils die kleinsten Funktionswerte.

Grüße

Comments

Ich seh vorlauter Wald den Baum nicht mehr :D

Danke ganz herzlich für deine Auflösung!!!!

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Haha, das kenne ich. Immer gerne doch ;).

Answer 2

a.) In welchem Punkt hat diese  Funktion eine horizontale Tangente?

Wo ist denn der Scheitelpunkt

f(x) = x - x^2 = x*(1 - x)

Nullstellen bei 0 und 1 und daher an der Stelle 0.5 der Scheitelpunkt

b.) Wo nimmt sie im angegeben Definitionsbereich den größten und wo den kleinsten Wert an?"

Grüßter Wert im Scheitelpunkt. Kleinste Werte an den Grenzen des Definitionsbereiches.