Zeigen, dass 3|(x+2y) eine Äquivalenzrelation ist

Question

Hi, folgende Aufgabe.

Gegeben sei die folgende Relation auf ℤ: x~y :⇔ 3|(x+2y)

Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.

Answer 1

reflexiv ?
müsste jedes x aus Z mit sich in der Rel. stehen
also  3 | x+2x stimmt.

symmetrisch:  wenn x~y dann  3 | x+2y    wäre zu zeigen, dass dann auch 3|y+2x
 aber sicherlich gilt  3 | 3*(x+y)  und wenn nun auch   3 | x+2y
dann ist 3 auch ein Teiler der Differenz 3*(x+y) - ( x+2y ) und das ist gerade 2x+y,
also stimmt auch das.

transitiv    aus x~y und y~z müsste folgen   x ~ z
  3 | x+2y    und    3 |   y + 2z  hat zur Folge  3 teilt auch die Summe
also 3| x+2y+y+2z   also  3 | x+3y + 2z 
Da 3 ein Teiler von 3y ist, teilt 3 auch die Differenz also
3 | ( x+3y + 2z  )-3y   also 3 | x+2z  also auch trans.

Comments

Super danke für die schnelle Antwort!