Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

Question

hi Leute! ich muss folgende Übung lösen; (i) habe ich teilweise fertig, weiß aber nicht wie man die Transitivität zeigen kann… wäre sehr dankbar wenn ich mir helfen könntet!

Aufgabe:

(i) Auf der Menge ℤ x ℕ ≥1 ist die Relation ~ gegeben durch (z,n) ~ (z’, n‘) : ⇔ zn‘ = z‘n.
Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) Betrachten Sie die Abbildung
f : ℤ x ℕ ≥1  → ℚ, (z,n)  ↦ z/n .
Zeigen Sie, dass die Mengen f^-1({y}), y ∈ ℚ gerade die Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation ~ bilden.

Answer 1

Relation ~ gegeben durch (z,n) ~ (z’, n‘) : ⇔ zn‘ = z‘n.

transitiv heißt ja   (z,n) ~ (z’, n‘) und (z',n') ~ (z’', n‘' ) ==>  (z,n) ~ (z’', n‘')

Seien also   (z,n) ~ (z’, n‘) und (z',n') ~ (z’', n‘' )

nach Def. also zn‘ = z‘n  und   z'n‘' = z‘'n' .

                     z/n =  z'/n'  und z'/n' = z''/n''

        ==>   z/n =  z''/n''

          ==>    zn‘' = z‘'n

           ==>    (z,n) ~ (z’', n‘')            q.e.d.

ii)  Wenn zwei Paare (z,n) und (z’, n‘) in der gleichen

Klasse sind, dann sind stehen sie in der Relation, also gilt

zn‘ = z‘n. Das ist äquivalent zu z/n=z'/n'.

Also sind in einer Klasse alle die Paare, bei denen die

Quotienten z/n gleich sind.

Jedes y∈ℚ lässt sich aber gerade als Quotient y= z/n

mit (z,n) ∈ ℤ x ℕ ≥1 angeben. Alle Paare, die den gleichen

Quotienten haben, bilden die Urbildmenge von y.

Also sind diese Urbildmengen gerade die

Äquivalenzklassen.