Rechnen Sie nach, dass für die Ableitung der Funktion \arccos (x) gilt.

Question

Rechnen Sie nach, dass für die Ableitung der Funktion \( \arccos (x) \)

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad x \in(-1,1) \)

gilt.

Zeigen Sie, dass für \( x \in(-1,1) \)

\( \arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi}{2} \)

erfüllt ist.

Answer 1

arccos ist ja die Umkehrung von cos.
nimmst du  verkettung:

arccos ( cos (x) ) = x   dann mit Kettenregel
und also arccos ' ( cos (x) )  *  (-sin(x) =  1
   also        arccos ' ( cos (x) )  (-sin(x) =  1 / -sin(x)

und mit z= cos(x) ist ja sin(x) = √(1- z^2 )
einsetzen fertig.

arcsin geht so ähnlich

und dann ist arcsin(x)+arccos(x) konstant, da die Abl. 0 ist.
und für x=0 eingesetzt siehst du  die Konstante ist pi/2