ich habe drei Vektoren gegeben und möchte Folgende Aufgabe lösen:
9-3.) Gegeben sind die folgenden drei Vektoren des \( \mathbb{R}^{3} \)
$$ \mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right), \quad \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right), \quad \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis \( \left\{\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \mathbf{w}_{3}\right\} \) mit \( <\mathbf{w}_{1}>=<\mathbf{v}_{1}> \) und \( <\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}> \)
\( =<\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}> \)
Ich habe bereits w1 bestimmt:
1/wurzel2 (1,1,0) nun möchte ich w2 bestimmen, und gerade hier bleibe ich hängen:
Ich habe bis jetzt: w1
\( \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\\{0}\end{array}\right) \)
w2 (muss noch weiter vereinfacht werden ?)
\( \left(\begin{array}{l}{0} \\ {1}\\{1}\end{array}\right)-\frac{2}{2}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\\{0}\end{array}\right) \)
Ich muss den zweiten Vektor w2 vereinfachen nur wie kann ich das machen ?
Ich halte mich dabei an Wikipedia(Gram Schmidt Verfahren)
http://www.opt.math.tu-graz.ac.at/~raindl/archiv/ortho.pdf
dort erklärt sich mir bisweilen diese Schritt noch nicht:
\( \left(\begin{array}{l}{0} \\ {2} \\ {1}\end{array}\right)-\frac{4}{5}\left(\begin{array}{l}{1} \\ {2} \\ {0}\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{r}{-4} \\ {2} \\ {5}\end{array}\right) \)
Es wäre schön, wenn mir jemand das weitere Vorgehen erklären kann und vielleicht auch diesen Umformungsschritt. danke sehr
