Gleichungssysteme ohne zu rechnen wie viele Lösungen

Question

Stelle fest ohne zu rechnen:

Hat das Gleichungssystem eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

woran erkennt man das?

a) I.    x + 2y = 4        b)  I:   3x + 2y = 4                c)  I:    2x - y = 5

    II:   4x + 8y =8            II:   9x + 6y = 12                  II:    4x + 2y = 10

 

Danke

Answer 1

Wenn die Gleichungen linear abhängig sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Man erkennt das, wenn man es schafft die Gleichungen so umzuformen, dass sie gleich sind.

Das sieht dann so aus:
a) I.    x + 2y = 4   //mit 4 multiplizieren
     I.1 4x + 2y = 4 // sieht genauso aus wie II --> ist linear abhängig

     II:   4x + 8y = 4

 

b)  I:   3x + 2y = 4  //*3
      I.1 9x + 6y = 12  // sieht aus wie II --> linear abhängig

      II:   9x + 6y = 12

 

c)  I:    2x - y = 5 //*2
      I.1 4x - 2y = 10 // lässt sich nicht in Gleichung II überführen --> linear unabhängig

      II:    4x + 2y = 10

Nun stellt sich die Frage: Eine Lösung/ keine Lösung? Wenn man nun die Gleichungen addiert, dann fällt y raus und man kann x berechnen, es gibt also eine Lösung.

Keine Lösung gäbe es, wenn die Faktoren vor x und y gleich sind und der Teil ohne Unbekannte (x, y) verschieden ist. Sieht dann so aus:

I. 4x - 2y = 15
II. 4x - 2y = 16

Man sieht, dass eine der Gleichungen "nicht stimmen kann". Es gibt keine Lösung für x, so dass es ein y gibt, dass beides in beide Gleichungen eingesetzt diese auch erfüllt.

 

Comments

Sorry hab da einen Fehler gemacht:

a) I.    x + 2y = 4   //mit 4 multiplizieren
     I.1 4x + 8y = 16 // Es gibt keine Lösung

     II:   4x + 8y = 4

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Die Lösung im Lösungsbuch sagt aber dass

a) keine Lösung

b) unendlich vile Lösungen

c) eine Lösung

hat, aber ich weiß nicht warum das so ist

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Siehe Lektion Mathe F05: Lineare Gleichungssysteme

Herunterscrollen bis "Mögliche Lösungen für Lineare Gleichungssysteme", dort sind alle Erklärungen hierzu.

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Ja, die Lösung stimmt schon. Hab da nur was übersehen, und in einem Kommentar berichtigt. ;)

Kannst Du die Vorgehensweise nachvollziehen?

Answer 2

a) hat keine Lösung,

b) hat unendlich viele Lösungen,

c) hat unendlich viele Lösungen

 

Also ich habe als erstes einfach mal geschaut, ob der II. Teil der Aufgabe ein Vielfaches von I ist, und sobald dies der Fall ist, ist die Lösung undefiniert --> x=y (Trifft bei b und c zu)

Als nächstes habe ich geschaut, ob überhaupt ein vielfaches auf beiden Seiten verwendet wurde --> bei a). Auf der einen Seite war das Vielfache 4, auf der anderen 2. So kann es unmöglich Lösungen geben (es ist keine Äquivalenzumforung)

Danach muss man gar nicht mehr weiterschauen...

Sobald zwei ganz unterschiedliche Terme bei I und II sind, dann ist zu erwarten, dass es eine Lösung gibt. (Hier nicht relevant)

 

Ich hoffe, ich konnte dir helfen und du verstehst es jetzt!

Simon