Ableitung von Wurzelfunktion: y = √(x + √(x + √(x)))

Question

Ich hab ein Problem mit dieser komplexen Wurzelfunktion, die ich ableiten muss.

$$y=\sqrt { x+\sqrt { x+\sqrt { x }  }  } $$

Nun ist mir bekannt das die Ableitung von  $$\sqrt { x } =\quad { x }_{ 2 }^{ 1 }\\ ->\quad 0.5{ x }-_{ 2 }^{ 1 }$$ gibt.

Mich verunsichern jedoch die weiteren Wurzeln, somit erhalte ich ein falsches Ergebnis. Ich weiss jetzt nicht was ich genau falsch mache, bzw. ob es da eine bessere Möglichkeit gibt, Wurzelgleichungen abzuleiten.

Für eure Ausführungen bin ich sehr dankbar!

Comments

Habe versucht abzuleiten mit der Kettenregel. Mein Resultat (bis jetzt) sieht so aus: $$(1+\frac { 1 }{ 2 } { x- }_{ 2 }^{ 1 })*\quad \frac { 1 }{ 2 } (x+{ x }_{ 2 }^{ 1 }){ - }_{ 2 }^{ 1 }*\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad (x+(x+{ x }_{ 2 }^{ 1 })_{ 2 }^{ 1 }){ - }_{ 2 }^{ 1 }$$

Da stimmt doch irgendwas nicht? Wende ich die Regel falsch an?

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Habe vorher deinen TeX-Code "\sqrt { x } =\quad { x }_{ 2 }^{ 1 }\\ ->\quad 0.5{ x }-_{ 2 }^{ 1 }" hier angesehen: 

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Da fehlt im Exponenten zumindest das "frac". Ein Grund, weshalb deine Exponenten keinen Bruchstrich haben. 

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Tut mir Leid wegen der falschen Eingabe.

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Bitte. Kein Problem. Ich versuchte eigentlich zu korrigieren. Aus die Schnelle sah ich leider auch nicht, wie.

Answer 1

Hi Retaf,

das ist keine Schönheit. Am besten machst Du die Kettenregel Schritt für Schritt. Dein gezeigtes Wissen hilft Dir dabei.

$$f'(x) = \frac{(x+\sqrt{x+\sqrt x})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}$$

Nun den Zähler ableiten. Da ist der erste Summand 1 und beim zweiten Summanden ergibt sich:

$$\text{Zähler}: \quad 1 + \frac{(x+\sqrt{x})'}{2\sqrt{x+\sqrt x}}$$

Das jetzt nochmals machen (Zähler ableiten) und Du bist fertig.

Alles klar?

Kontrolle (wenn ich mich nicht verhaspelt habe): 

$$f'(x) = \frac{1+\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt x}}}$$

Grüße

Comments

Kontrolle : ich habe dasselbe heraus.
Die Aufgabe ist zum " verhaspeln " gut geeignet.

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Danke fürs Drüberschaun :).

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Danke für eure Kommentare!
Ich habe jetzt versucht das abzuleiten und habe das hier erhalten:
$$(1+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{-\frac12})*\quad \frac { 1 }{ 2 } (x+{ x }^{ \frac12 })^{ -\frac12 }*\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad (x+(x+{ x }^{ \frac12 })^{ \frac12 })^{-\frac12 }$$
von den ganzen Brüchen sehe ich das Ufer nicht mehr. Wie hast du die f'(x) so einfach hergeleitet? Sieht nämlich viel übersichtlicher aus als bei mir ^^

Hoffe habe die Caret-Konflikte behoben (Unknown)

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Mit Deinen ganzen Caret-Konflikten ist das schwer lesbar.

Bei mir bin ich vorgegangen wie erklärt -> Schrittweise ableiten ;).

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Caret-Konflikten? das -1/2 sollte eigentlich immer ^hochstehen :D

Mir ist aber irgendwie nicht klar, wie du den Nenner hergeleitet hast? Übersehe ich da das wesentliche? 

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Den Nenner hast Du ebenfalls :). Dein letzter Faktor ist nichts anderes als mein Nenner ;).

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Habe das oben nun korrigiert. Mir scheint da fehlt einmal nen Summand (1+...) * :::

wobei ... die ersten beiden Faktoren und ::: der letzte Faktor ist :P (man ist ja faul^^).

Beim ersten Summanden fehlt ein Minus im Exponenten (oder habe ich das bei der Korrektur versehentlich entfernt).

Also eigentlich siehts gut aus^^.

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das Minus habe ich beim ersten Summanden ^^ 

Gleich sollte ich es verstanden haben. :) Darf ich beim inneren Teil nur das X ableiten ohne x^0.5? Wenn ich nämlich den Term (x+√x) ableite erhalte ich (1+0.5x^-0.5). 

Tut mir Leid das ich so lange brauche.^^

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Wenn ich nämlich den Term (x+√x) ableite erhalte ich (1+0.5x^-0.5). 

So ist das richtig :).

Und kein Ding. Solange es dann verstanden ist :).

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habe ich so aber nicht ein 0.5x^-0.5 zuviel? 

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Sagen wir so. Abgesehen von dem +1 hast Du das gleiche wie ich. Also nein, sollte so passen, da das ja auch Georg bestätigt hat ;).

Answer 2

Da musst du mehrmals die Kettenregel anwenden.
zuerst  äußere Fkt  √(x)
innere Funktion x+√(x+√(x))     

also Ableitung  o,5*(innere  Funktion )^{-1/2} * Abl. der inneren Funktion

im letzten ist aber auch wieder eine Verkettung   √(x+√(x))
deren Ableitung ist   o,5*(x+√(x))^{-1/2}  *  ( 1+x^{-1/2})

damit ist die Abl. der ursprünglichen inn. Fkt  1+  o,5*(x+√(x))^{-1/2}  *  ( 1+x^{-1/2})

Answer 3

 Schreibe von Innen nach außen um:

                     X^0,5

             ( x + x^0,5)^0,5

         (x + (x + x^0,5)^0,5)^0,5

Jetzt leitest Du mit Kettenregel von innen nach außen ab.