Extremwertaufgabe - Seitenlänge berechnen

Question

Hallo :)

Gegeben sind die Funktionen f(x)=1/16 (x-4)³+2   und g(x) =(3/4)x

Zeichnen Sie die Geraden der beiden Funktion sowie eine Gerade mit der Gleichung x=s mit s∈(3;7) in ein kartesisches Koordinatensystem.

Die Gerade schneidet die Graphen von f und g in den Punkten A und B. Berechnen Sie die Länge der Strecke in Abhängigkeit von s. Ich komme auf: -1/16 s³+12/16 s²-2,25 s +2

Bestimmen Sie den Wort von s, für den die Strecke ihren größten Wert annimmt, und geben Sie diese Streckenlänge an. Ich komme für s auf 6 und für die Strecke dann auf 2.

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von f und g bei x=8 schneiden und in einem weiteren Punkt C berühren. Das konnte ich zeigen und erhalte für den Berührpunkt als x-Koordinate 2.

Geben Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC in Abhängigkeit von s an.

Hier fehlt mir leider noch der Ansatz, zumal zweifele ich an der Richtigkeit meiner obigen Lösungen.

LG

Simon

Answer 1

d(x) = g(x) - f(x) = 3/4·x - (1/16·(x - 4)^3 + 2) = - x^3/16 + 3/4·x^2 - 9/4·x + 2

Das hast du also richtig.

d'(x) = - 3/16·x^2 + 3/2·x - 9/4 = 0

x = 6 [∨ x = 2]

d(6) = 2

Hast du also auch richtig.

d(x) = - x^3/16 + 3/4·x^2 - 9/4·x + 2 = 0

x^3 - 12·x^2 + 36·x - 32 = 0

x = 8 ∨ x = 2

Polynomdivision und Faktorzerlegung

x^3 - 12·x^2 + 36·x - 32 = (x - 8)·(x - 2)^2 

2 ist also doppelte Nullstelle und damit ein Berührpunkt. 8 ist einfache Nullstelle und damit ein Schnittpunkt.

A(x) = 1/2 * (x - 2) * d(x) = 1/2 * (x - 2) * (- x^3/16 + 3/4·x^2 - 9/4·x + 2) = - x^4/32 + 7/16·x^3 - 15/8·x^2 + 13/4·x - 2

Comments

Flächeninhalt für Dreieck ist doch g*h/2

Natürlich mit Funktionswerten für g und h. Hast du die /2 vergessen oder gibt es dafür eine Erklärung.

Grüße

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Das war nur um zu sehen ob du aufpasst. Ich änder das mal.

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Keine Angst, ich bin nicht zu den "Fertig-Abschreibern" übergegangen ;)

Answer 2

Alternativ die Berechnung des Berührpunkts

f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x )

f ( x ) =1/16 (x-4)³+2  
g ( x ) = (3/4) * x

f ´( x ) = 1 /16 * 3 * ( x - 4 )^2
g ´( x ) = 3 / 4

3 /16  * ( x - 4 )^2 = 3/4
( x -4)^2 = 4
x - 4 = ± 2
x = -2
x = 2

Es bleibt x = 2 übrig da auch Schnittpunkt.