Extremwertaufgabe: Wie ist die Seitenlänge des Dreiecks im Quadrat zu wählen?

Question

Aufgabe:

Einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist ein gleichschenkliges Dreieck so einzuschreiben, dass seine Spitze in einer Ecke des Quadrats liegt.
Wie sind die Seitenlänge des Dreiecks zu wählen, dass der Flächeninhalt maximal ist?

Problem/Ansatz:

Bitte Hilfe …

Answer 1

Höhe des Dreiecks: \(h = \sqrt{2}\, a - g/2 \)

Grundlinie des Dreiecks: \( g = \sqrt{(a-x)^2 + (a-x)^2} \)

Fläche des Dreiecks: \( A = g \cdot h / 2 \)

x = 0

Answer 2

Aloha :)

Die Fläche des grünen Dreiecks ist:

$$F=\overbrace{a^2}^{\text{Quadrat}}-2\cdot\overbrace{\frac12ax}^{\text{rechtw. Dreieck}}-\overbrace{\frac12(a-x)^2}^{\text{halbes Qudrat links oben}}$$$$F=a^2-ax-\frac12(a^2-2ax+x^2)$$$$F=\frac12(a^2-x^2)$$

Man sieht ohne weitere Rechnung, dass \(F\) maximal ist für \(x=0\), denn weniger als \(0\) können wir von \(\frac{a^2}{2}\) nicht subtrahieren. Das grüne Dreieck füllt dann die rechte untere Hälfte unter der Hauptdiagonalen des großen Quadrates aus.

Comments

Roland hätte gefragt :

Wie erkennt man geometrisch (d.h. durch Schneiden und Zusammenkleben), dass die grüne und die rote Fläche gleich groß sind ?