Optimierung. Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Umfang minimieren, wenn Fläche fest.

Question

Hallo 

Schon die Römer bauten Abwasserkanäle. Der querschnitt eines Abwasserkanals ist im Normalfall ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie muss ein Abwasserkanal gebaut werden, wenn bei gegebener Querschnittsfläche A=3m² der Umfang minimal wird?

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Soll die Querschnittform beibehalten werden? Falls ja, ist die Höhe des Rechtecks variabel?

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hat sich gerade erledigt

Answer 1

A=3 m^2  also 2*r*h+pi/2*r^2=3 gibt  h= (3 - pi/2 * r^2 ) / 2r  
und Umfang ist u(r) = 2*h + 2*r + pi*r
jetzt h einsetzen und dann das Min. von u mit u ' (r) = 0 etc bestimmen.

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Was sind die Haupt- und Nebenbedingungen?

Answer 2

b = Breite
h = Höhe
r = b/2 ( Radius ausgesetzter Kreis )

A = b * h + [ (b/2)^2 * π ] / 2
A = b * h + b^2 * π / 8
b * h + b^2 * π / 8 = 3
b * h = 3 - b^2 * π / 8
h = ( 3 - b^2 * π / 8 ) / b

U = b + 2*h + 2 * b/2 * π / 2
U ( b ) = b + 2* [ ( 3 - b^2 * π / 8 ) / b ] + b * π / 2
U ( b ) = b +  6 / b  - 2 * b* π / 8 + b * π / 2
U ( b ) = b + b * π / 2 +  6 / b  - 2 * b* π / 8 + b * π / 2
U ( b ) = b * ( 1 + π / 2  - π / 4 ) + 6 / b
U ( b ) = 1 + π / 2  - b* π / 4 - 6 / b^2
U ( b ) = 1.785 - 6 / b^2
1.785 - 6 / b^2  = 0
1.785 = 6 / b^2
b^2 = 6 / 1.785
b = 1.833

Ich mache nachher weiter.

mfg Georg

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Das Ergebnis stimmt.
Zur Kontrolle : h = 0.917 m